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§3不等式3.1不等式的性质

学习目标1.通过实数大小的比较及不等式性质的证明,培养逻辑推理素养.2.借助不等式性质的应用,提升数学运算素养.

知识梳理·自主探究师生互动·合作探究

知识梳理·自主探究情境导入建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.探究1:若同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?答案:同时增加相等的窗户面积和地板面积后,住宅的采光条件变好了.探究2:如何用式子表示上述关系?

知识探究1.两个实数的大小关系的基本事实对于任意的实数a,b,有以下基本事实:ab?;a=b?;ab?.a-b0a-b=0a-b0

2.不等式的性质

思考1:由a≥b,b≥c能否得到a≥c呢?如果a≥b,bc,能否一定得到a≥c呢?提示:由a≥b,b≥c可以得到a≥c;而如果a≥b,bc,则一定可以得到ac.又“a≥c”包含“ac”或“a=c”,所以a≥c是一定成立的.故如果a≥b,bc,则一定可以得到a≥c.思考2:两个不同向不等式的两边可以分别相除吗?提示:不可以.两个不同向不等式的两边不能分别相除,在需要商时,可利用不等式性质转化为同向不等式相乘.

师生互动·合作探究探究点一用不等式(组)表示不等关系[例1]某汽车货运公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元,90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.

方法总结将不等关系表示成不等式(组)的思路(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.(2)用适当的不等号连接.(3)多个不等关系用不等式组表示.

针对训练:用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园的面积不小于216m2,靠墙的一边长为xm.试用不等式表示其中的不等关系.

探究点二实数(式)的比较大小[例2]已知x≤1,试比较3x3与3x2-x+1的大小.解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).因为x≤1得x-1≤0,而3x2+10,所以(3x2+1)(x-1)≤0,所以3x3≤3x2-x+1.

变式探究:把本例中“x≤1”改为“x∈R”,再比较3x3与3x2-x+1的大小.解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).因为3x2+10,当x1时,x-10,所以3x33x2-x+1;当x=1时,x-1=0,所以3x3=3x2-x+1;当x1时,x-10,所以3x33x2-x+1.

方法总结作差比较法比较两式大小的步骤(1)作差:对要比较大小的两个式子作差;(2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形;(3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号;(4)作出结论.

探究点三不等式的性质及其应用[例3](1)已知ab,ef,c0,求证:f-ace-bc;证明:(1)因为ab,c0,所以acbc,即-ac-bc.又ef,即fe,所以f-ace-bc.

方法总结不等式的性质常与比较大小或不等式的证明等问题结合起来考查,此类题目一般可以结合不等式的性质,利用作差法或作商法求解,也可以利用特殊值求解.

学海拾贝利用不等式的性质求范围已知含有参数不等式的范围,求含有参数不等式的范围,通常把已知含有参数不等式看作一个整体来解决,不能根据已知不等式的范围,求解每一个参数的范围,然后利用每一个参数的范围求含有参数不等式的范围,因为这样会使所求的范围增大.因为所给的不等式范围,不能保证每一个参数同时取得最大或最小值.

典例探究:已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.

应用探究:已知1≤a+b≤2,3≤4a+b≤4,求9a+b的取值范围.

当堂检测A1.完成一项装修工程,请木工需支付工资每人400元,请瓦工需支付工资每人500元,要求工人工资预算不超过20000元.设请木工x人,瓦工y人,则下列关系式正确的是()A.4x+5y≤200 B.4x+5y200C.5x+4y≤200 D.5x+4y200解析:由题意知,请木工共需支付400x元,请瓦工共需支付500y元,可得共需支付工资(400x+500y)元.又工人工资预算不超过20000元,故400x+500y≤20000,化简可得4x+5y≤200.故选A.

A2.设P=2a(a-2)+3,Q=(a-1)(a-3),a∈R,则有()A.P≥QB.PQ C.PQ