北师大版必修第二册第2章3.pptxVIP

§3从速度的倍数到向量的数乘

3.1向量的数乘运算;自主预习·新知导学;自主预习·新知导学;一、数乘向量的定义及其几何意义

【问题思考】

1.实数与向量相乘结果是实数还是向量?

提示:向量.

2.一物体做匀速直线运动,1s的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3s的位移对应的向量为3a,在相反方向上3s的位移对应的向量为-3a,那么向量3a,-3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系?

提示:3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向量a的方向相同.-3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向量a的方向相反.;3.(1)实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa.满足以下条件:

①当λ0时,向量λa与向量a的方向相同;

当λ0时,向量λa与向量a的方向相反;

当λ=0时,0a=0.

②|λa|=|λ||a|.

这种运算称为向量的数乘.;(2)向量数乘的几何意义

如图2-3-1,由实数与向量数乘λa的定义可以

看出,它的几何意义是:

当λ0时,表示向量a的有向线段在原方向

伸长或缩短为原来的|λ|倍;

当λ0时,表示向量a的有向线段在反方向

伸长或缩短为原来的|λ|倍.;(3)单位向量:

在非零向量a方向上的单位向量是.它表明一个非零向量除以它的模(乘它的模的倒数)的结果是一个与原向量同方向的单位向量,这一过程称为向量的单位化.;二、数乘向量的运算律

【问题思考】

1.类比实数的运算律,向量数乘有怎样的运算律?

提示:结合律、分配律.;2.(1)向量数乘的运算律:

设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律:

①(λ+μ)a=λa+μa;②λ(μa)=(λμ)a;③λ(a+b)=λa+λb.

(2)线性运算:

向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).;3.下列各式计算正确的有().

①(-7)6a=-42a; ②7(a+b)-8b=7a+15b;

③a-2b+a+2b=2a; ④4(2a+b)=8a+4b.

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

解析:①③④正确.

答案:C;合作探究·释疑解惑;探究一向量的线性运算;反思感悟向量数乘的运算类似于代数多项式的运算,主要是“合并同类项”“提取公因式”,这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看成向量的系数.;探究二解向量方程;解:(1)原方程可变形为5x+5a+3x-3b=0,即8x=-5a+3b,;反思感悟向量也可以通过列方程(组)来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.;探究三在几何图形中用已知向量表示未知向量;反思感悟用已知向量表示其他向量的方法