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微分几何期末试题

数信学院2000级数学与应用数学专业

《微分几何》期终考试题（A）2003/01

班级：____学号：______姓名：_______成绩：_____

一、填空题（每空1分,共20分）

1.正则曲面在其上任一点处的单位法向量zbyax2//2

222=+=n，正则曲线在其上任一点处的切线方程为?

=??=?yxzyx.2.第一基本形式为2

222

2)(CvudvduI+++=(其中C为常数)的曲面与平面(选填等距或

共形)微分同胚,该曲面的Gauss曲率为.

3.法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率,使法曲率达到最大

值和最小值的方向是曲面的方向.

4.距离单位球面球心距离为的平面与球面的交线的法曲率

为为测地曲率为测地曲率为，，

5.曲面的坐标曲线网正交的充要条件是,坐标曲线网成为曲率线网

的充要条件是.

6.曲面上向量的Levi-Civita平行移动与道路无关的曲面是曲面，

曲面上测地线的切向量在Levi-Civita平行移动意义下是平行的

吗？.

7.是否存在曲面分别以()和作为它的第一、第二基本型?22dv

du?dudv2，

简述理由.

8.根据曲线论的基本定理，在可以相差一个空间位置的情况下，

唯一决定一条空间曲线的两个不变量是曲线的和.

9.脐点处，曲面的第一、第二类基本量满足关系，脐点的等距微

分同胚像仍是脐点吗？.

10.按椭圆点，双曲点，抛物点进行分类，可展曲面上的点都是点.

极小曲面上的点是点.

二、单项选择题（每题2分，共16分）

1.下面各量中,不是内蕴量的是()

A.曲面上曲线的曲率

B.曲面上曲线的测地曲率

C.曲面上测地三角形的内角和

D.曲面的高斯曲率

2.下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是()

A.球面与柱面

B.柱面与平面

C.平面与伪球面

D.伪球面与可展曲面

3.下列曲面不是可展曲面的是()

A.r},sin,cos{),(bauuvuvvu+=

B.曲线r},sin,cos{)(bttatat=的切线曲面

C.高斯曲率恒为0的无平点曲面

D.与平面等距等价的曲面

4.设曲线C的曲率为,挠率为kτ,设是C关于坐标原点的对称曲线,

其曲率和*C挠率分别记为和，则（）

*k*τA.k=，*kτ=B.=-，*τk*kτ=

*τC.=，k*kτ=-D.=-，*τk*kτ=-

*τ5.曲线的下列各量中,是参数变换和坐标变换的不变量的是()

A.曲率

B.挠率

C.弧长

D.以上全是

6.设曲面的第一,第二基本型分别是,则曲面2222,NdvLduIIGdv

EduI+=+=的两个主曲率分别是()

A．GNkELk==21,

B.N

GkLEk==21,C.vEGkk==ln2121D.uGE

kk??==ln21217.曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间

的关系是()

kgknkA．k=+B.=+C.D.

gknkgkknk222ngkkk+=222ngkkk+=8.曲