高考理科数学二轮总复习课后习题 考点突破练与专题检测9 立体几何中的位置关系证明、翻折及探索性问题.docVIP

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考点突破练9

立体几何中的位置关系证明、翻折及探索性问题

1.(山西统考模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥平面ABCD,△PAD是边长为2的等边三角形,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1.

(1)求点B到平面PCD的距离.

(2)线段PD上是否存在异于端点的一点E,使得平面EAC与平面DAC所成锐二面角的余弦值为105?若存在,求出PE

2.(安徽黄山二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,且AD=AB=12BC=2,平面PCD⊥平面ABCD,且△PDC是以∠

(1)求证:A,B,E,F四点共面;

(2)求平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

3.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为BD和BB1的中点,P为棱C1D1上的动点.

(1)是否存在点P使PE⊥平面EFC?若存在,求出满足条件时C1P的长度并证明;若不存在,请说明理由.

(2)当C1P为何值时,平面BCC1B1与平面PEF所成锐二面角的正弦值最小.

4.如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别是线段AB,CD的中点,AB=4,AD=2,将矩形ABCD沿EF翻折.

图1

图2

图3

(1)若所成二面角的大小为π2(如图2),求证:直线CE⊥

(2)若所成二面角的大小为π3(如图3),点M在线段AD上,当直线BE与平面EMC所成角为π

5.(广东汕头一模)如图,在多面体ABCDFE中,四边形ABCD与ABEF均为直角梯形,AD∥BC,AF∥BE,DA⊥平面ABEF,AB⊥AF,AD=AB=2BC=2BE=2.

(1)已知点G为AF上一点,且AG=2,求证:BG与平面DCE不平行;

(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为55

6.(河南焦作二模)如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2π3,E为BC的中点,F为AB上一点,且EF⊥AB.现将△BEF沿EF翻折到△

图1

图2

(1)证明:EF⊥AB.

(2)已知二面角B-EF-A为π3,在边AC上是否存在点M,使得直线BC与平面BMF所成角的正弦值为5

考点突破练9立体几何中的位置关系证明、翻折及探索性问题

1.解(1)取AD的中点O,连接PO,OC.∵△PAD是等边三角形,∴PO⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD,∴PO⊥OC.∵BC∥AO,BC=AO,∴四边形ABCO是平行四边形,∴AB∥OC.∵AB⊥AD,∴OC⊥AO.

如图所示,以点O为坐标原点,直线OC,OD,OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

则A(0,-1,0),D(0,1,0),C(1,0,0),B(1,-1,0),P(0,0,3),CP=(-1,0,3),CD=(-1,1,0).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),

∴n·CP=0,n·CD

(2)设E(s,t,r),PE=λPD,λ∈(0,1),∴(s,t,r-3)=λ(0,1,-3),∴E(0,λ,3-3λ).则AC=(1,1,0),AE=(0,λ+1,3-3λ),设平面EAC的法向量为m=(x,y,z),∴m·AC=0,m·AE=0,即x+y=0,(λ+1)

2.(1)证明由题意,取BC的中点M,连接DM,由题意知AD=BM=2,又AD∥BM,所以四边形ABMD是平行四边形,所以DM=AB=2.则DM=MC=2,且DM⊥MC.所以DC=22+22=22,又△PDC是以∠DPC为直角的等腰直角三角形,所以DP=CP=2.过点P作PN⊥CD,垂足为N,则点N为DC的中点,且PN=2.因为平面PCD⊥平面ABCD,且平面PCD∩平面ABCD=DC,所以PN⊥

以点A为坐标原点,以直线AB,AD,l分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,4,0),P(1,3,2).因为E为棱PC的中点,所以E(32,72,22),又因为点F在棱PD上,且PF=2FD,所以F(13,73,23),则AF=(13,73,23),AE=(32,72,22

(2)解由(1)可知BP=(-1,3,2),BC=(0,4,0),BA=(-2,0,0),设平面PAB的法向量为m=(x1,y1,z1),则BP·m=0,BA·m=0,即-x1+3y1+2z1=0,-2x1=0,令y1=1,则x1=0,z1=-322,所以m=(

3.解(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以点D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为点E,F分别为BD和BB1的中点,点