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数学基地班15级
数学分析（二）期末考题A
讲解*一.计算下列积分1.解1:令则比较系数，得解得一.计算下列积分1.解:于是一.计算下列积分1.解2:令则2.解：3.解：所以，因为4.解：这里的被积函数是一个变上限积分，其导数为利用分部积分4.解（续）：二、设T为抛物线1.求T的体积；2.求T的重心坐标。绕x轴旋转形成的锥体。解：1.或xyo旋转体的体积为二、设T为抛物线1.求T的体积；2.求T的重心坐标。绕x轴旋转形成的锥体。解：1.2.所以，由对称性可知，三、设f(x)在[0,+∞)上连续，f(+∞)存在且有限，ba0。求证：收敛，且证：考虑由推广的积分第一中值定理，存在使得2.推广的积分第一中值定理由积分不等式，我们有由推广的积分第一中值定理，存在使得显然，由题设条件所以收敛，且四、设1.求出和2.证明和在(0,0)点不连续；3.讨论f(x,y)在(0,0)点是否可微。四、设1.求出和解：1.因为所以同理，四、设2.证明和在(0,0)点不连续；解：2.所以在(0,0)点不连续。在(0,0)点也不连续。不存在，由对称性可知，四、设3.讨论f(x,y)在(0,0)点是否可微。解：3.如果f(x,y)在原点可微，则必有df(0,0)=0。但是即df(0,0)≠0，产生矛盾。所以f(x,y)在原点不可微。五、设函数项级数在其中每个un(x)都在上一致收敛。求证：和函数S(x)在上一致收敛。一致收敛于S(x)证：记因为在一致收敛于S(x)，对任意ε0，存在N0，当nN时，对所以的，都有五、设函数项级数在其中每个un(x)都在上一致收敛。求证：和函数S(x)在上一致收敛。一致收敛于S(x)证（续1）：对以上选定的N，SN+1(x)是有限个一致连续函数的和，因而也在（－∞，+∞）上一致连续于是存在δ0，对任意只要，就有五、设函数项级数在其中每个un(x)都在上一致收敛。求证：和函数S(x)在上一致收敛。一致收敛于S(x)证（续2）：这样，所以，和函数S(x)在上一致连续。*
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