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高一数学必修一中的函数单调性与最值问题

在高一数学必修一的学习中，函数的单调性与最值问题是非常重要

的一部分内容。它不仅是后续数学学习的基础，也在实际生活和其他

学科中有着广泛的应用。

首先，我们来理解一下什么是函数的单调性。简单来说，单调性就

是函数值随着自变量的增大或减小而呈现出的一种变化规律。如果函

数值随着自变量的增大而增大，我们就说这个函数在某个区间上是单

调递增的；反之，如果函数值随着自变量的增大而减小，那么这个函

数在这个区间上就是单调递减的。

为了判断函数的单调性，我们通常会采用定义法。假设给定函数

$f(x)＄，定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自

变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1x_2$时，如果都有$f(x_1)＜f(x_2)＄，

那么就称函数$f(x)＄在区间$D$上是单调递增的；如果都有$f(x_1)＞

f(x_2)＄，则称函数$f(x)＄在区间$D$上是单调递减的。

比如说，对于一次函数$y＝2x＋1$，我们可以任取两个自变量的

值$x_1$和$x_2$，且$x_1＜x_2$。那么$f(x_1)＝2x_1＋1$，＄f(x_2)

＝2x_2＋1$。因为$x_1＜x_2$，所以$2x_1＜2x_2$，从而$f(x_1)

＜f(x_2)＄，所以这个一次函数在其定义域内是单调递增的。

再比如，二次函数$y＝x^2$。当$x＜0$时，随着$x$的增大，

＄y$的值逐渐减小，函数是单调递减的；当$x＞0$时，随着$x$的增

大，＄y$的值逐渐增大，函数是单调递增的。

除了定义法，我们还可以通过函数的导数来判断单调性。这对于一

些复杂的函数会更加方便和高效，但这是后续学习的内容，在高一阶

段，我们主要还是掌握定义法。

接下来，我们谈谈函数的最值问题。函数的最大值和最小值，简单

理解就是函数在定义域内所能取到的最大和最小的函数值。

如果函数在某个区间上是单调递增的，那么在区间的左端点处取得

最小值，在右端点处取得最大值；如果函数在某个区间上是单调递减

的，那么在区间的右端点处取得最小值，在左端点处取得最大值。

例如，对于函数$f(x)＝x＋5$，在区间$1,3$上是单调递减的。所

以$f(x)＄在$x＝3$处取得最小值，＄f(3)＝－3＋5＝2$；在$x＝

1$处取得最大值，＄f(1)＝－1＋5＝4$。

函数的单调性和最值在实际生活中有着很多应用。比如说，在生产

中，我们常常需要考虑成本与产量之间的关系，通过研究函数的单调

性和最值，来确定最优的生产方案，以达到成本最小化或利润最大化

的目标。

在解决函数单调性和最值问题时，我们需要注意一些常见的错误。

比如，在使用定义法判断单调性时，一定要注意取值的任意性，不能

随意选取特殊的值来判断。另外，在求最值时，要先确定函数的单调

性，再根据单调性来确定最值。

总之，高一数学必修一中的函数单调性与最值问题是非常基础和重

要的内容。只有掌握了这些知识，我们才能更好地学习后续的数学知

识，并且能够运用这些知识解决实际问题。

我们再通过一些具体的例题来加深对函数单调性与最值问题的理解。

例1：求函数$f(x)＝x^22x＋3$在区间$0,2$上的单调性和最值。

首先，对函数进行变形：＄f(x)＝（x1)＾2＋2$。

然后，我们可以通过定义法来判断单调性。

任取任取＜＜，则$f(x_1)f(x_2)＝（x_11)＾2＋2

（x_21)＾2＋2＝（x_11)＾2（x_21)＾2$。

因为因为＜＜，所以$x_11＜x_21$，且$｜x_11|

＜1$，＄｜x_21|＜1$。

所以$（x_11)＾2＜（x_21)＾2$，即$f(x_1)＜f(x_2)＄，所以函

数$f(x)＄在区间$0,1$上单调递减，在区间$1,2$上单调递增。

在$x＝1$处取得最小值，＄f(1)＝2$；在$x＝0$或$x＝2$处取

得最大值，＄f(0)＝f(2)＝3$。

例2：已知函数$f(x)＝－2x^2