广东省新南方联盟2024届高三下学期4月联考数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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广东省新南方联盟2024届高三下学期4月联考数学试题

一、单选题（共40分）：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的．

1.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

〖答案〗B

〖解析〗由图象可知，

所以，

其对应的点为，显然位于第二象限.

故选：B.

2.已知集合，则A的真子集数量是（）

A.8 B.7 C.32 D.31

〖答案〗D

〖解析〗易知，所以或或，即，

则其真子集有个.

故选：D.

3.已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（），则k的值是（）

A. B.

C. D.

〖答案〗B

〖解析〗若与共线，

则设，

因为向量与能作为平面向量的一组基底，

所以，所以，解得.

故选：B.

4.8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，每个小组内成员地位等价，则所有可能的分组方案数量是（）

A.28 B.2520 C.105 D.128

〖答案〗C

〖解析〗由题意8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，每个小组内成员地位等价，

则所有可能分组方案数量是.

故选：C.

5.设函数，若将的图象向左平移个单位长度后在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（）

A. B.

C. D.

〖答案〗A

〖解析〗将的图象向左平移个单位长度后的图象所对应的函数表达式为

，

注意到，则当时，，

由题意在上有且仅有两个零点，

这意味着，且显然，

也就是说，解得.

故选：A.

6.以下什么物体能被放进底面半径为，高为圆柱中（）

A.底面半径为，母线长为的圆锥

B.底面半径为，高为的圆柱

C.边长为的立方体

D.底面积为，高为的直三棱柱

〖答案〗B

〖解析〗由于，故该圆锥无法放入圆柱中，A错误；

B选项，如图所示，将底面半径为，高为的圆柱放入半径为，高为的圆柱中，如图所示，

则，因，

由勾股定理得，

设，则，则，，

由勾股定理得，

因为，则，，

，

故能被放进底面半径为，高为的圆柱中，B正确；

C选项，边长为的立方体，面对角线长为，体对角线长为，

要想放进高为的圆柱内，需要如图所示放入，

其外接球的直径为，故要想放入圆柱中，只能放入以球为内切球的圆柱中，

如图，过点的母线交上底面于点，交下底面于点，

设，，由勾股定理得，

连接，则，由勾股定理得，

解得，

即边长为的立方体可放入底面半径为，高为的的圆柱中，

因为，故C错误；

D选项，底面积为，高为的直三棱柱体积为，

由于底面半径为，高为的圆柱体积为，

故无法放进放进底面半径为，高为的圆柱中，D错误.

故选：B

7.设数列的通项公式为，其前n项和为，则使的最小n是（）

A.5 B.6 C.7 D.8

〖答案〗C

〖解析〗，

，

结合指数函数单调性该数列为单调递增数列，

且

所以使的最小n是7.

故选：C.

8.已知，，，则a，b的大小关系是（）

A. B.

C. D.

〖答案〗D

〖解析〗因为，所以，

所以要比较与0的大小关系，只需比较的大小关系，

同理要比较的大小关系只需比较的大小关系，

我们构造函数fx

则，

这意味着在是减函数，

从而log92

所以，即.

故选：D.

二、多选题（共18分）：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．

9.已知，且，则下列不等式中成立的有（）

A. B.

C. D.

〖答案〗ABC

〖解析〗对于A，因为，所以，，当且仅当时取等号，A正确；

对于B，因为，，

令，，

令

令，

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减；

又，，

的时，取最小值，所以B正确；

对于C，，，

因为，

所以在上最小值为，，C正确；

对于D，，D错误；

故选：ABC.

10.抛物线：焦点为F，且过点，斜率互为相反数的直线，分别交于另一点C和D，则下列说法正确的有（）

A.直线过定点

B.在C，D两点处的切线斜率和为

C.上存在无穷多个点到点F和直线的距离和为6

D.当C，D都在A点左侧时，面积的最大值为

〖答案〗BCD

〖解析〗对于A，因为抛物线：过点，

所以，解得，

所以抛物线：，设点关于抛物线对称轴即轴的对称点为点，

则，

因为斜率互为相反数，不妨设AC:y=kx-4+4,

则，

联立与抛物线：，

化简并整理得，

Δ=16

设，

则，

所以，同理，

直线的方程为：，