高考理科数学二轮总复习课后习题 专题五 解析几何 考点突破练15 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题.docVIP

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考点突破练15圆锥曲线中的定点、定值、证明问题

1.(湖南岳阳质检二)已知椭圆C:y2a2+x

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若过F的直线l与C交于A,B两点,证明:∠OMA=∠OMB.

2.(陕西西安四区县联考一)已知抛物线0,a2作两条互相垂直的直线l1,l2,设l1,l2分别与抛物线相交于A,B及C,D两点,当A点的横坐标为2时,抛物线在点A处的切线斜率为1.

(1)求抛物线的方程;

(2)设线段AB,CD的中点分别为E,F,O为坐标原点,求证:直线EF过定点.

3.(北京石景山一模)已知椭圆C:x2a2+y

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过右焦点F作斜率为k的直线l,与椭圆C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,判断|PF

4.(全国乙·理20)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B32

(1)求E的方程;

(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足MT=

5.(河南濮阳一模)已知椭圆C:x2a2+y2b

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线l的斜率为12,且直线l与椭圆C相交于P,Q两点,点P关于原点的对称点为E,点A(-2,1)是椭圆C上一点,若直线AE与AQ的斜率分别为kAE,kAQ,证明:kAE·kAQ

6.(广西柳州三模)已知点A(2,3),B(-2,-3),点M与y轴的距离记为d,且点M满足MA·

(1)求曲线W的方程;

(2)设点P为x轴上除原点O外的一点,过点P作直线l1,l2,l1交曲线W于C,D两点,l2交曲线W于E,F两点,G,H分别为CD,EF的中点,过点P作x轴的垂线交GH于点N,设CD,EF,ON的斜率分别为k1,k2,k3,求证:k3(k1+k2)为定值.

考点突破练15圆锥曲线中的定点、定值、证明问题

1.(1)解左顶点P到F的距离为2,可得a=2,又e=ca=22,故c=1,从而b=1.∴椭圆C的标准方程为y

当l与y轴不重合时,设l的方程为y=kA+kMB=y1-2x1+y2-2x2=kx1-1x1+kx2-1x2=2k-1x1+1x

综上,∠OMA=∠OMB.

2.(1)解∵y=2xa,由题意得2×2a=1,∴

设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+2,x2=4y,得x2-4kx-8=0,则x1+x2=4k,∴y1+y2=k(x1

∵l1⊥l2,∴直线CD的斜率为-1k,同理可得CD的中点F-2k,2k2+2,∴EF的方程为y-(2k2+2)=2k2

∴直线EF恒过定点(0,4).

3.解(1)由题意得b=3,e=1-b2

(2)是定值.理由如下:由椭圆的方程x24+y23=1,得右焦点F(1,0),设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y

由y=k(x-1),x24+y23=1,得(3+4k2)x2-8k

|AB|=1+k2|x1-x2|=

设线段AB的中点为D(x0,y0),则x0=x1+x22=4k23+4k2,则y0=k(x0-1)=

令y=0,得xP=k23+4k2,所以|PF|=|xP-1|=

4.(1)解设椭圆E的方程为m0,n0),

则4n=1

故椭圆E的方程为x2

(2)证明由点A(0,-2),B32,-1

由x=1,

则点M1,-26

将y=-263代入y=23

则点T3-

又MT=TH,所以点H5-26,-263,所以直线HN的方程为y-263

由y+2=k(x-1),x23+y24=1,消去y,得(4+3k

将y=y1代入y=23x-2,得x=32(y1+2),则点T32(y1+2),y

所以直线HN的方程为(3y1+6-x1-x2)(y-y2)=(y1-y2)(x-x2),即(3y1+6-x1-x2)(y-y2)-(y1-y2)(x-x2)=0.将x=0,y=-2代入上式,整理得12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*)

因为x1+x2=6k(k+2)4+3k2,x1x2=3k(k

x1y2+x2y1=x1[k(x2-1)-2]+x2[k(x1-1)-2]=-24

y1y2=[k(x1-1)-2][k(x2-1)-2]=-8

所以(*)式左边=12-12k

所以直线HN过点(0,-2).

综上所述,直线HN恒过定点(0,-2).

5.(1)解由题可知b=2,ca

∴椭圆C的方程为x2

(2)证明设P(x1,y1),Q(x2,y2),则E(-x1,-y1).

设直线l为y=12x+t,代入椭圆方程得x2+2tx+2t2

则Δ=4t2-4(2t2-4)0,解得-2t2,x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4,则kAE+kAQ