江苏省南京市2025届高三学业水平调研考试数学试卷（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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江苏省南京市2025届高三学业水平调研考试数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1.已知集合，则的真子集个数为（）

A.5个 B.6个 C.7个 D.8个

〖答案〗C

〖解析〗集合是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的集合，

集合是坐标平面内，函数图象上的点的集合，

在同一坐标系内作出圆及函数的部分图象，如图，

观察图象知，圆及函数的图象有3个公共点，

所以有3个元素，共有个真子集.

故选：C.

2.在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（）

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

〖答案〗A

〖解析〗由在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，设，

则，显然，

所以点第一象限，A正确.

故选：A.

3.某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（）

A.79 B.80 C.81 D.82

〖答案〗B

〖解析〗由题意知，下四分位数为第二个数与第三个数的平均数，即，

解之得，

所以该名考生面试的平均得分为.

故选：B.

4.“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

〖答案〗C

〖解析〗因为

,

所以，解得.

所以“”是“”的充要条件.

故选：C.

5.若单位向量满足，向量满足，则的最小值为（）

A. B.

C. D.

〖答案〗D

〖解析〗令，依题意，，，

以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，

令，由，得C在以为直径的圆上，该圆的方程为，

设，即，

则

，

所以的最小值为.

故选：D.

6.设数列an的前项和为，，，若，则正整数的值为（）

A.2024 B.2023 C.2022 D.2021

〖答案〗C

〖解析〗由，两边取倒数可得：，

即，又，

所以是首项为1，公比为的等比数列，

所以，

故，

令

由且，则，

由，则，

则，

所以，

故，则正整数的值为2022．

故选：C.

7.已知双曲线，在双曲线C上任意一点处作双曲线C的切线（），交C在第一、四象限的渐近线分别于A、B两点．当时，该双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

〖答案〗A

〖解析〗如图，设双曲线C在点P处的切线为l，切线l与x轴交于点D，

根据题意点P在双曲线第一象限，由，得，

所以，

则在点的切线斜率为，

所以在点的切线方程为，

令，得，所以点，

设点Ax1,y1，B

解得，所以点，

同理可得，

又，，所以点P是线段AB的中点，

所以，即得，

即，解得.

又，所以，即，所以双曲线的离心率.

故选：A.

8.在中，且均为整数，D为AC中点，则的值为（）

A. B. C. D.1

〖答案〗D

〖解析〗在中，由，得，即，

则，由为整数，得，，

，整理得，

而，且均为整数，则，

由，解得，

由，解得，

由正弦定理得，则，

由D为AC中点，得，则

，

所以.

故选：D.

三、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.如图，棱长为2的正方体中，E，F分别是的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（）

A.过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形

B.存在点P，使得平面

C.若点P到直线BB1与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分

D.若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为

〖答案〗AC

〖解析〗对于A，连接，，分别是棱，的中点，则，

且，又，则，且，

因此过，，三点的平面截正方体所得截面为梯形，A正确；

以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，设点，其中，

，，

设平面的法向量为，则，取，得，

对于B,，若存在点，使得平面，则，

于是，即，无解，因此不存在点，使得平面，B错误；

对于C，平面平面，则，

若点到直线与到直线的距离相等，则，

平方整理得，则点的轨迹为抛物线的一部分，C正确；

对D，依题意，平面，因此点的轨迹是过点与平面平行的平面交正方形所得线段，

而，则，令，得；令，得，

线段的中点，于是P点轨迹为