大题考法精研(二)——数列中的最值、范围及创新问题.pptx

;;[例1]已知等比数列{an}满足a1＋a2＝20，a2＋a3＝80.

(1)求{an}的通项公式；

;[关键点拨]

;(2)因为bn＝log2an＝log24n＝2n，

所以bn＋1－bn＝2，b1＝2，

所以{bn}是首项为2，公差为2的等差数列，bn＝2n.;

;

;[思维建模]

解决与数列有关的最值问题应注意的两点

(1)数列是定义在N*或其子集上的特殊函数，因此树立函数意识解决数列问题是关键．

(2)求解过程中注意项数n的取值范围

;[针对训练]

;

;

;

;所以f(n)单调递减．

;[例2](2023·浙江镇海中学模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足4an－2Sn＋n2－3n－4＝0，n∈N*，数列{bn}满足b1＝1,2nbn＋1＝anbn，n∈N*.

(1)求证：数列{an－n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

;[关键点拨]

;[证明](1)当n＝1时，a1＝3；

当n≥2时，4an－1－2Sn－1＋(n－1)2－3(n－1)－4＝0，n∈N*.

所以4(an－an－1)－2an＋2n－4＝0(n≥2)，整理得an＝2an－1－n＋2(n≥2)．

所以an－n＝2[an－1－(n－1)]．又a1－1＝2≠0，故an－n≠0，

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;

;

;[思维建模]

数列与不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于求出数列的通项公式或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明．

;[针对训练]

2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－an.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且2bn＝(n－2)(an－1)，若Tn≥λbn对于n∈N*恒成立，求λ的取值范围．

解：(1)∵Sn＝n－an，∴Sn－1＝(n－1)－an－1(n≥2)，

两式作差得2an＝an－1＋1，∴2(an－1)＝an－1－1.

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;

;当n＝1时，λ≤1；当n＝2时，λ∈R；

;[例3]在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1,2，第1次“和扩充”后得到数列1,3,2，第2次“和扩充”后得到数列1,4,3,5,2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn.

(1)若a＝1，b＝2，c＝3，求P2，S2；;[解](1)数列1,2,3，经第1次“和扩充”后得到数列为1,3,2,5,3，经第2次“和扩充”后得到数列为1,4,3,5,2,7,5,8,3，所以P2＝5＋4＝9，S2＝1＋4＋3＋5＋2＋7＋5＋8＋3＝38.

(2)数列经每1次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，

由数列经第n次“和扩充”后的项数为Pn，知数列经第n＋1次“和扩充”后增加的项数为Pn－1，;所以Pn＋1＝Pn＋(Pn－1)＝2Pn－1.所以Pn＋1－1＝2Pn－2＝2(Pn－1)．由(1)得P1－1＝4，所以{Pn－1}是首项为4，公比为2的等比数列．所以Pn－1＝4·2n－1＝2n＋1，即Pn＝2n＋1＋1.由Pn＝2n＋1＋1≥2023，即2n＋1≥2022，得n≥10.所以满足Pn≥2023的n的最小值为10，故n0＝10，所以

;2c，c，且S2＝5a＋9b＋5c，数列a，b，c经过第3次“和扩充”后得到数列a,3a＋b,2a＋b,3a＋2b，a＋b,2a＋3b，a＋2b，a＋3b，b,3b＋c,2b＋c,3b＋2c，b＋c,2b＋3c，b＋2c，b＋3c，c，且S3＝14a＋27b＋14c，

;[思维建模]

数列新定义问题的解读与对策

(1)通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情境，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．

(2)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．;

;解：(1)证明：∵点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，

;(2)由(1)知bn＝lg(an＋1)＝1×2n－1＝2n－1.

由数列{bn}，{cn}的通项公式得，

当n≤4时，bncn；

当n4时，bncn.

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