专题3.8 四点共圆（隐圆压轴五）（解析版）.pdfVIP

专题3.8四点共圆

1.四点共圆

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点

共圆”．

2．四点共圆的性质

(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等．

(2)圆内接四边形的对角互补．

(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．

3．四点共圆的判定

(1)用“角”判定：

①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上；

②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；

③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三

角形的四个顶点在同一个圆上．

(2)“等线段”判定：

四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点共圆．

(3)用“比例线段”判定：

若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则A，B，C，D四点

共圆.

模型解读：

模型1：对角互补型：

若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º,

则A、B、C、D四点共圆

模型2：同侧等角型

（1）若∠A=∠C,

则A、B、C、D四点共圆

（2）手拉手(双子型)中的四点共圆

条件：△OCD∽△OAB

结论：①△OAC∽△OBD

②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB；

③点E在△OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆.

模型3：直径是圆中最长的弦

1.定圆中最长的弦是直径；

2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；

3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。

【典例1】如图，四边形ABCD是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下

数据AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，请计算这块

规划用地的最大面积．

【解答】解：∵四边形ABCD中，∠DAC+∠DCB＝180°，

∴A、B、C、D四点共圆，

如图，延长CB，过点A作AE⊥CB于点E，连接AC，过点D作DF⊥AC于

点F．

∵∠ABC＝120°，

∴∠ADC＝∠ABE＝60°，

∴BE＝AB＝15km，AE＝＝15km，CE＝40+15＝55km，

2

∴S△ABC＝＝＝300km．

则当△ADC的面积最大时，四边形ABCD的面积最大．

当AD＝CD时，DF最大，此时四边形ABCD的面积最大．

在Rt△ACE中，AC＝＝10km，AF＝AC＝5km，

∵∠ADF＝＝30°，

∴DF＝AF＝5km，

2

∴S△ADC＝＝＝925km．

2

300+925＝1225km．

2

∴四边形ABCD的最大面积为1225km．

【变式1-1】如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∠BDC＝120°，

连接BD，CD并延长分别交AC，AB于点E和点F，若DE＝6，，则

BD的长为（）

A．10B．12C．15D．16

【答案】C

【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠BDC＝120°，

∴A、E、D、F四点共圆，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAE＝∠DAF，

∴DE＝DF＝6，

∵∠BDC＝120°，

∴∠CD