湘豫名校联考2024届高三下学期第四次模拟考试数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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湘豫名校联考2024届高三下学期第四次模拟考试数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.在复数范围内方程的两个根分别为，，则（）

A.1 B. C. D.

〖答案〗D

〖解析〗根据题意可得，

，即，

当，时，，

，

当，时，，

，

综上，.

故选：D.

2.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

〖答案〗D

〖解析〗因为，

，所以，

所以．

故选：D．

3.已知椭圆与矩形的四条边都相切，若，，则的离心率为（）

A. B. C. D.

〖答案〗A

〖解析〗由椭圆的对称性可知，，则，，

所以，

所以的离心率为，

故选：A.

4.已知，则（）

A. B. C. D.

〖答案〗C

〖解析〗

，

故选：C.

5.在某次游戏中，甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0.5，0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（）

A. B. C. D.

〖答案〗B

〖解析〗设事件“甲中靶”，“乙中靶”，“弓箭靶被射中”，

则，，所以，，．

所以．

所以．故选：B．

6.如图，，和，分别是函数图象的两个最低点和两个最高点，若四边形的面积为，且在区间上是单调函数，则实数的最大值是（）

A B. C. D.

〖答案〗C

〖解析〗由题意，得四边形为平行四边形，且，

且与之间的距离为，则，解得，

则，

令，，

解得，，

所以当时，，

即函数在上单调递增，

又，所以，

则，即的最大值为，

故选：C.

7.已知函数，则满足的x的取值范围为（）

A. B.

C. D.

〖答案〗B

〖解析〗由题意得，的定义域为，，

因为，

所以为偶函数，

当时，令，则，

因为和在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，

所以在上单调递增．

由，得，所以，

两边平方并整理，得，解得．

故选：B．

8.中国古代建筑中重要的构件之一——柱（俗称“柱子”）多数为木造，属于大木作范围，其中，瓜棱柱是古建筑木柱的一种做法，即木柱非整根原木，而是多块用榫卯拼合而成．宁波保国寺大殿的瓜棱柱，一部分用到了“包镶式瓜棱柱”形式，即在一根木柱周围，根据需要再用若干根一定厚度的木料包镶而成的柱子，图1为“包镶式瓜棱柱”，图2为此瓜棱柱的横截面图，中间大圆木的直径为，外部八根小圆木的直径均为，所有圆木的高度均为，且粗细均匀，则中间大圆木与一根外部小圆木的体积之比为（）

A. B.

C.3 D.

〖答案〗D

〖解析〗八根小圆木截面圆的圆心构成一个正八边形，边长为，

相邻两根小圆木圆心与大圆木圆心构成一个底边长为，腰长为，顶角为的等腰三角形，

根据余弦定理，得，解得，

所以中间大圆木与一根外部小圆木的体积之比为：

．

故选：D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知为实数，随机变量，且，则（）

A. B.

C. D.

〖答案〗AB

〖解析〗因为随机变量，且，

由正态曲线的对称性，可得，因为，

所以，故A正确；

，故B正确；

，即，故C错误；

由于当，时，满足，但是，故D错误．

故选：AB．

10.已知四棱锥的底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，且，E，F，G分别为PB，PD，BC的中点，点Q是线段PA上靠近点P的四等分点，则（）

A.平面PCD

B.直线FG与AB所成的角为30°

C.

D.经过E，F，G的平面截四棱锥所得到的截面图形的面积为

〖答案〗ACD

〖解析〗因为EG是△PBC的中位线，所以，

又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，A正确．

如图，取PA的中点M，连接MF，BM，则，且．

因为且，所以且．

所以四边形MFGB为平行四边形，所以，

所以∠MBA或其补角即为直线FG与AB所成的角．

由平面ABCD，面，得．

因为，

所以FG与AB所成角的正切值为，B错误．

由题意，得Q是PM的中点，

所以，又，所以，C正确．

显然E，G，F，Q四点共面，取CD的中点H，连接FH，GH，

可得四边形EGHF为平行四边形，所以E，G，H，F四点共面，

所以E，G，H，F，Q五点共面，即五边形EGHFQ即为所求的截面．

设，则，且，

，．

由题意及线面垂直的性质有，，且都在面，所

以BD⊥平面PAC．

而面，所以，又，，

所以，

所以

，D正确．

故