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数学建模期末试卷

第一部分：理论知识运用（800字）

在数学建模中，理论知识是基础和核心。本部分试题旨在考察你对

数学建模相关理论的理解和应用能力。

问题一：线性回归模型

给定一组数据集，其中包含自变量x和因变量y的取值。请用线性

回归模型拟合数据，得到最优拟合直线，并解释拟合效果和参数含义。

解答一：线性回归模型是一种用于建立自变量和因变量之间关系的

数学模型。它假设自变量和因变量之间存在线性关系，并通过最小二

乘法求解出最优拟合直线。最优拟合直线可以通过参数方程y=β0+

β1x表示，其中β0表示截距，β1表示斜率。通过最优拟合直线，我们

可以预测因变量y的值，并评估拟合效果。

问题二：时间序列模型

某公司过去5年的销售额数据如下：2015年：1000万元，2016年：

1200万元，2017年：1300万元，2018年：1500万元，2019年：1700

万元。请根据给定数据，建立时间序列模型，并预测2020年的销售额。

解答二：时间序列模型是一种用于分析和预测时间序列数据的数学

模型。通过观察历史数据的变化趋势和周期性，我们可以建立合适的

时间序列模型。对于给定数据，我们可以使用移动平均法或指数平滑

法进行预测。根据过去5年的销售额数据，可以看出销售额呈上升趋

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势，因此我们可以使用指数平滑法进行预测。根据指数平滑法的公式，

我们可以得到2020年的销售额预测值。

问题三：优化模型

某工厂生产两种产品A、B，产品A每件利润为10元，产品B每

件利润为20元。工厂的生产能力有限，每天生产产品A最多100件，

产品B最多80件。产品A和B的生产时间分别为2小时和3小时。请

问工厂每天应该生产多少件产品A和产品B，以使总利润最大化？

解答三：该问题可以建立一个线性规划模型来求解。设产品A的生

产量为x，产品B的生产量为y。由于生产能力有限，我们可以得到以

下约束条件：x≤100，y≤80。另外，由于产品A和产品B的生产时间

分别为2小时和3小时，所以我们还有时间的约束条件：2x+3y≤24。

总利润可以表示为10x+20y，因此我们的目标是求解该线性规划模型的

最优解。

第二部分：实际问题建模（800字）

在数学建模中，实际问题建模是能力的体现。本部分试题旨在考察

你能否将实际问题转化为数学模型，并进行求解和分析。

问题四：旅行商问题

某旅行商需要依次拜访A、B、C、D四个城市，已知每两个城市之

间的距离，如下表所示。请问旅行商应该选择哪条路径，使得总路程

最短？

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解答四：旅行商问题是一种经典的组合优化问题，可以采用图论的

方法进行建模和求解。我们可以将四个城市之间的距离构成一个带权

完全图，使用动态规划算法或者遗传算法等进行求解。通过计算每条

路径的总路程，我们可以找到总路程最短的路径。

问题五：股票投资问题

某投资者在过去一段时间里对某只股票进行投资，已知每天的股价

变动情况，如下表所示。请问该投资者应该在何时买入和卖出股票，

以获得最大利润？

解答五：股票投资问题可以转化为寻找股价变动最大值和最小值所

对应的日期，以确定买入和卖出的时机。我们可以使用差分法计算每

天的