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第1课时空间中的角第三章

内容索引0102自主预习新知导学合作探究释疑解惑

自主预习新知导学

一、两条直线的夹角1.两条直线的夹角(1)当两条直线a与b相交时,我们把两条直线交角中范围在内的角叫作两条直线的夹角,如图3-4-8①所示;当两条直线平行时,规定它们的夹角为0.①当两条直线a与b是异面直线时,在空间任取一点O,过点O作直线a和b,使得a∥a,b∥b,把a,b的夹角叫作异面直线a与b的夹角,如图3-4-8②所示.空间直线由一个点和一个方向确定,所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定.②图3-4-8

2.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°,则异面直线l1与l2的夹角等于().A.30° B.150° C.30°或150° D.以上均错解析:l1与l2的夹角与其方向向量的夹角相等或互补,且异面直线的夹角的范围是(0,].故选A.答案:A

二、直线与平面的夹角1.直线与平面的夹角和直线与平面的垂线的夹角互余.设向量l为直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则直线l与平面α的夹角θ∈,且θ=-l,n(如图3-4-9①)或θ=l,n-(如图3-4-9②),故sinθ=|cosl,n|.①②图3-4-9

2.已知直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为135°,则直线l与平面α的夹角为().A.135° B.45°C.75° D.以上均错解析:直线l与平面α的夹角θ∈[0,90°],且θ=135°-90°=45°,故选B.答案:B

三、平面与平面的夹角1.一般地,已知n1,n2分别为平面α,β的法向量,则二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角n1,n2相等(如图3-4-10①)或互补(如图3-4-10②).①②图3-4-10

2.平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.设平面α与平面β的夹角为θ,则

3.若二面角的两个半平面的法向量分别为(4,2,0)和(3,-6,5),则这个二面角的余弦值是().解析:4×3+2×(-6)+0×5=0,则二面角的两个半平面的法向量互相垂直.故这个二面角的余弦值是0.答案:A

合作探究释疑解惑

探究一求异面直线所成的角【例1】如图3-4-11,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥BC,AB⊥AD,且PA=AB=BC=AD=1,求PB与CD的夹角.图3-4-11

解法二:建立如答图3-4-9的空间直角坐标系,答图3-4-9

两条异面直线的夹角θ的求法(1)传统几何法:通过直线平移构造三角形求解.(2)向量求法:设直线a,b的方向向量分别为a,b,则有cosθ=|cosa,b|=.用向量法求异面直线的夹角时应注意两点:①若求出的两向量的夹角为钝角,则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角,即cosθ=|cosa,b|;②若具备建系条件,常建立空间直角坐标系,利用两直线方向向量数量积的坐标运算求解,否则利用空间向量数量积的定义式求解.

探究二求直线与平面的夹角【例2】如图3-4-12,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN夹角的正弦值.图3-4-12

(1)证明:由已知得AM=AD=2.如答图3-4-10,取BP的中点T,连接AT,TN.因为N为PC的中点,所以TN∥BC,TN=BC=2.又AD∥BC,故TN??AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT?平面PAB,MN?平面PAB,所以MN∥平面PAB.

答图3-4-10

用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量.利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤:(1)建立空间直角坐标系;(2)求直线的方向向量;(3)求平面的法向量n;

探究三求平面与平面的夹角【例3】如图3-4-13,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)求证:O1O⊥底面ABCD;(2)若∠CBA=60°,求平面B1OC1与平面BDD1B1夹角的余弦值.(1)证明:因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD.又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD.因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD.图3-4-13

(2)解:因为四棱柱的所有棱长都