高中数学教案：高等数学中的微分和积分应用.pdfVIP

高中数学教案：高等数学中的微分和积分应

用

一、引言

高等数学中的微分和积分是数学中非常重要的概念和工具，广泛应用于物理、

工程、经济和其他学科中。微分和积分的应用可以帮助我们理解和解决各种实际问

题，从而提高我们的数学能力和问题解决能力。本文将介绍高等数学中微分和积分

的应用，并提供相关教案。

二、微分的应用

1.极值问题

极值问题是微分的一个重要应用领域。以函数的最大值和最小值为例，我们可

以使用微分找到函数的驻点（即导数为零的点）并通过二阶导数判断这些点是否是

极值点：若二阶导数为正，则是极小值点；若二阶导数为负，则是极大值点。

以一道典型的极值问题为例：某物体自由落体运动的位移函数为s(t)=-

4.9t^2+25t，在0≤t≤5的时间范围内，求物体的最大高度。

解答过程如下：首先，我们求位移函数的导数s(t)=-9.8t+25，然后令其等于零，

得到t=2.56。接着，我们求二阶导数s(t)=-9.8，确认t=2.56是一个极大值点。最后，

代入t=2.56，求得物体的最大高度s(2.56)=26.24米。

2.曲线的切线和法线

微分还可以用来求解曲线的切线和法线。切线是曲线上某一点处的斜率，而斜

率可以通过求导得到。法线则是垂直于切线的直线，其斜率为切线的负倒数。

以求曲线y=x^2上点(2,4)处的切线和法线为例，解答过程如下：首先，我们求

曲线方程的导数y=2x，然后将x=2代入，得到切线的斜率为4。接着，我们求切

线的方程为y-4=4(x-2)，化简后得到切线方程y=4x-4。最后，我们求切线的垂直斜

率，即法线的斜率为-1/4。故法线的方程为y-4=(-1/4)(x-2)，化简后得到法线方程

y=-x/4+5/2。

三、积分的应用

1.定积分求曲线下的面积

定积分是积分的一种应用，可以用来求解曲线与x轴之间的面积。

以求曲线y=x^2在[-1,1]区间上的面积为例，解答过程如下：首先，我们可以

将曲线方程图像化，发现该曲线关于x轴对称，且曲线下的面积与曲线上的面积相

等。所以，我们只需求解该曲线在[0,1]区间上的面积即可。然后，我们可以将曲线

方程表示为y=f(x)=x^2，再通过定积分求解该区间上的面积

∫[0,1]x^2dx=(1/3)x^3|[0,1]=(1/3)。故曲线y=x^2在[-1,1]区间上的面积为(2/3)。

2.定积分求物理量

定积分还可以用来求解物理量，如速度、位移和质量等。

以求解速度为v(t)=2t的物体在[1,3]时间间隔内的位移为例，解答过程如下：首

先，我们求速度函数的原函数，即位移函数为s(t)=∫[1,3]2tdt=t^2|[1,3]=9-1=8。故物

体在[1,3]时间间隔内的位移为8。

3.定积分求概率密度函数下的概率

定积分还可以用来求解概率密度函数下的概率。概率密度函数是描述某一随机

事件在不同取值下出现的相对频率的函数。

以概率密度函数为f(x)=1/8x在[2,6]区间上的概率为例，解答过程如下：首先，

我们计算概率密度函数的积分为∫[2,6](1/8x)dx=(1/8)(1/2)x^2|[2,6]=1/8(18-2)=2。故

概率密度函数f(x)=1/8x在[2,6]区间上的概率为2。

四、教案设计

根据以上介绍的微分和积分的应用领域，我们可以设计一堂高中数学课的教案。

具体教案如下：

一、教学目标：

1.了解微分和积分的应用场景。

2.理解微分的应用方法，如极值问题、曲线的切线和法线。

3.理解积分的应用方法，如定积分求曲线下的面积、求物理量以及求概率密度

函数下的概率。

二、教学内容：

1.微分的应用：极值问题、曲线的切线和法线。

2.积分的应用：定积分求曲线下的面积、求物理量以及求概率密度函数下的概

率。

三、教学步骤：

1.导入部分：通过实际问题引入微分和积分的应用领域。

2.微分的应用讲解：分别介绍极值问题的解法和曲线的切线和法线的求解方法，

并结合示例进行讲解。

3.积分的应用讲解：分别介绍定积分求曲线下的面积、求物理量以及求概率密

度函数下的概率的方法，并结合示例进行讲解。

4.学生练习与讨论：提供一些练习题供学生进行练习，并进行小组讨论和解答。

5.总结与