2024-2025学年高一数学必修第一册（湘教版）配套课件 第2章-2.3 一元二次不等式.pptx

第2章2.3一元二次不等式

1.了解一元二次不等式的概念和现实意义.2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.4.能够解决一元二次不等式的实际问题.核心素养：数学建模、数学运算、直观想象学习目标

情境导学新知学习某摩托车生产企业上年度生产摩托车投入成本1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1),则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.为使本年度的年利润比上一年有所增加,那么投入成本增加的比例x应规定的范围是多少?

探究新知一、一元二次不等式的概念定义:我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.名师点析1.一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数,并且这个未知数是唯一的,但这并不是说,不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,则把其他字母看成常数.2.一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2,且最高次项的系数不为0.

下面哪些不等式是一元二次不等式:(1)x20;(2)-x-x2≤5;(3)x3+5x-60;(4)3x2-x+y0;(5)ax2+bx+c0.解:(1)是;(2)是;(3)不是,因为x的最高次为3次;(4)不是,它含有两个未知数;(5)不是,因为a=0时,不符合一元二次不等式的定义.即时巩固

二、一元二次不等式的解法一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表:没有实数根?????

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名师点析一元二次不等式ax2+bx-c0(a0)的求解方法,如图.解一元二次不等式的口诀先看开口再看根,函数图象是根本;横轴上方y为正,根间根外想谨慎.

(1)不等式x2-2x0的解集为()A.{x|x0} B.{x|x2} C.{x|0x2} D.{x|x0或x2}(2)求不等式-x2+2x-30的解集.即时巩固解:不等式可化为x2-2x+30.因为Δ=-80,所以方程x2-2x+3=0无实数根.画出二次函数y=x2-2x+3的图象(如图).观察图象得原不等式的解集为?.D

例1解下列不等式:(1)2x2-3x-20;(2)-3x2+6x-20;(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+20.典例剖析一一元二次不等式的求解分析:先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.?

?反思感悟解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.(4)画图像.根据一元二次方程根的情况画出对应的一元二次函数的图像.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.

?变式训练解下列不等式:(1)4x2-20x-25;(2)(x-3)(x-7)0;(3)-3x2+5x-40;(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.

例2求实数a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别为:(1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3)[-1,+∞).二已知不等式的解集求参数值?分析:根据解一元二次不等式的方法,逆向分析与思考,得出不等式对应方程解的情况,利用根与系数的关系进行求解.

?反思感悟1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)0(x1x2),当a0时,其解集是{x|xx1或xx2},当a0时,其解集是{x|x1xx2}.

变式训练已知关于x的不等式x2+ax+b0的解集为(1,2),求关于x的不等式bx2+ax+10的解集.?

例3解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10.三含参数的一元二次不等式的解法分析：先对二次项的系数进行讨论,再按不等式的解法求解.?

反思感悟解含参数的一元二次不等式,与解不含参数的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用.(1)若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论,对于不等于0的情况再按大于0或小于0进行讨论.(2)若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式