考研数学(数学二)模拟试卷448(题后含答案及解析).pdfVIP

考研数学（数学二）模拟试卷448(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．()

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：作积分变量代换u=x－t，

2．设f(x)在区间[a，b]上存在一阶导数，且fˊ(a)≠fˊ(b)．则必存在x0

∈(a，b)使()

A．fˊ(x0)fˊ(a)．

B．fˊ(x0)fˊ(b)．

C．fˊ(x0)=[5fˊ(b)+2fˊ(a)]．

D．fˊ(x0)=[5fˊ(b)－2fˊ(a)]．

正确答案：C

解析：由于fˊ(a)≠fˊ(b)，不妨设fˊ(a)所以fˊ(a)[5fˊ(b)+2fˊ(a)]fˊ(b)，

类似地可证fˊ(a)[5fˊ(b)+2fˊ(a)]fˊ(b)．一般地，设μ为介于fˊ(a)与fˊ(b)

之间的任意一个确定的值．在本题条件下有结论：存在x0∈(a，b)使fˊ(x0)=μ．这

个定理有点类似于连续函数介值定理，不过这里并不需要fˊ(x)连续而只要在[a，

b]上fˊ(x)存在即可．此定理在一般教科书上没有讲，但考研中经常用到．证明

如下：令ф(x)=f(x)－μx．有фˊ(x)=fˊ(x)－μ．фˊ(a)=fˊ(a)－μ0．于是

知，存在x1∈(a，b)使ф(x1)[5fˊ(b)+2fˊ(a)]介于fˊ(a)与fˊ(b)之间，所以

存在x0∈(a，b)使fˊ(x0)=[5fˊ(b)+2fˊ(a)]．

3．设函数z=z(z，y)由方程确定，其中F为可微函数，且Fˊ2≠0．则()

A．x．

B．y．

C．z．

D．0．

正确答案：C

解析：方程两边对x求偏导数，得再将方程两边对y求偏导数，得

4．设则在区间(－1，1)内()

A．f(x)与g(x)都存在原函数．

B．f(x)与g(x)都不存在原函数．

C．f(x)存在原函数，g(x)不存在原函数．

D．f(x)不存在原函数，g(x)存在原函数．

正确答案：D

解析：g(x)在(－1，1)内连续，所以存在原函数，f(x)在x=0处为第一类间断

点，所以不存在原函数，如果F(x)是f(x)在区间(－1，1)内的一个原函数．f(x)=F

ˊ(x)，而f(x)在x=0处为第一类间断点，而作为导函数Fˊ(x)来说，是不可能存

在第一类间断点的．

5．设F(x)可导，下述命题：①Fˊ(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数；

②Fˊ(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数；③Fˊ(x)为周期函数的充要条件

是F(x)为周期函数．正确的个数是()

A．0个．

B．1个．

C．2个．

D．3个．

正确答案：B

解析：②是正确的，证明如下：设Fˊ(x)=f(x)为奇函数．则φ(x)=∫0xf(t)dt

必是偶函数．证明如下：φ(－x)=∫0－xf(t)dt=∫0xf(－t)(－dt)=∫0xf(t)dt=φ

(x)．又因f(x)的任意一个原函数必是φ(x)+C的形式，所以f(x)的任意一个原函

数必是偶函数．必要性证毕．设F(x)为偶函数：F(x)=F(－x)，两边对x求导，得

Fˊ(x)=－Fˊ(－x)，所以Fˊ(x)为奇函数，充分性证毕．①是不正确的．反例：

(x3+1)ˊ=3x2为偶函数，但x3+1并非奇函数，必要性不成立．③是不正确的．反

例：(sinx+x)ˊ=cosx+1为周期函数，但sinx+x不是周期函数，必要性不成立．