等差数列及其前n项和 (1).docx

等差数列的通项及其前n项和公式

【知识点梳理】

知识点一：等差数列的基本概念及公式

①等差数列的定义：（或者）．

②等差数列的通项公式：，通项公式的推广：

③等差中项：若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有

（）．

④等差数列的前项和公式：

知识点二：等差数列的性质

①通项下标和性质：在等差数列中，当时，则．

特别地，当时，则．

②等差数列通项的性质：，所以当时，等差数列的通项为关于的一次函数，即．

③等差数列前n项和的常用性质：，所以当时，等差数列的前n项和为关于的二次函数且没有常数项，即

因为，当时，开口向上，有最小值；当时，开口向下，有最大值；

考点一：等差数列通向及求和公式运用

知道等差数列的两个等式，我们可以通过建立关于和的二元一次方程组，求出和即可

【精选例题】

【例1】记是等差数列的前n项和，若，，则（????）

A．16 B．8 C．4 D．2

【例2】已知是等差数列，，则等于（????）

A．48 B．40 C．60 D．72

【例3】已知公差不为零的等差数列的前项和为，则

【例4】设等差数列的前n项和为，若，，，则m等于（???????）

A．8 B．7 C．6 D．5

【跟踪训练】

数列，则．

2．已知等差数列的前n项和为.若，且，则

3.已知为等差数列，前项和为，若，则．

4．已知是等差数列，是其前n项和，，，则的值为.

考点二：等差中项及性质问题

等差数列中只有一个等式，我们无法求出和的值，这个时候我们就需要用到等差数列下标和的性质或者都化成和的关系式也可

我们也可以设，那么此时数列是个常数列，我们可以设每一项为，再进行解题

【精选例题】

【例1】若为等差数列，是其前项的和，且为等比数列，，则的值为（????）

A． B． C． D．

【例2】已知，，实数成等差数列，成等比数列，则的最小值为（）

A． B． C． D．

【例3】已知等差数列的前项和为，，，，求项数的值．

【跟踪训练】

1．已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为77，则项数的值为___________.

2.已知是等差数列，，则等于（????）

A．48 B．40 C．60 D．72

3．在等差数列中，已知，，，则______．

4.．已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（???）

A． B． C． D．

考点三：等差数列前项和的性质

①若等差数列的前项和为，则仍成等差数列，注意段数要相等

②若等差数列的前项和为，则，所以数列成等差

③若两个等差数列和的前项和分别为和，则

【精选例题】

【例1】已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（????）

A．6 B．7 C．8 D．9

【例2】已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（????）

A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040

【例3】记为公差d不为0的等差数列的前n项和，则（????）.

A．，，成等差数列

B．，，成等差数列

C．

D．

【跟踪训练】

1.已知等差数列的前n项和为，满足，，则.

2.在等差数列中，为其前项和．若，且，则等于（????）

A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018

3.已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（????）

A． B． C． D．

4.设数列的前n项和为，关于数列，下列命题中正确的是（????）

A．若，则既是等差数列又是等比数列

B．若（A，B为常数），则是等差数列

C．若，则是等比数列

D．若是等比数列，则也成等比数列

5.已知数列，均为等差数列，其前项和分别为，，且若对任意的恒成立，则实数的最大值为（????）

A． B． C．-2 D．2

题型四：等差数列前n项和的最值

因为，当时，开口向上，有最小值；当时，开口向下，有最大值；

【精选例题】

【例1】已知等差数列的公差，前项和为，若的前项之和大于前项之和，则（????）

A． B．

C． D．

【例2】设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，，则（????）

A． B． C． D．

【例3】公差为的等差数列，其前项和为，下列说法正确的有（????）

A． B． C．中最大 D．

【例4】已知等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，则满足的最大的正整数k可能为（????）

A．22 B．23 C．24 D．25

【跟踪训练】

1.设等差数列的公差为d，前项和为，若，则下列结论正确的是（????）

A．数列是递增数列 B．

C． D．数列中最大项为第6项

2．等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（????）