湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题（原卷版）.docx

长沙市第一中学2022-2023学年度高二第二学期期中考试数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设（其中i为虚数单位），则（）

A. B. C. D.

2.已知为奇函数，则的值为（）

A. B.1 C. D.

3.已知是等比数列，且.若，则（）

A.±2 B.2 C.-2 D.4

4.已知圆锥的侧面积为，底面积为，底面半径为r，且，若底面半径同为r且体积与圆锥相等的圆柱高为，则（）

A. B. C. D.2

5.已知P是边长为2的菱形ABCD内一点，若，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

6.在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）常数.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.如果排列时要求2不排第一个，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（）

A.30 B.32 C.36 D.48

7.如图，直线与函数和的图象分别交于点A，B，若函数的图象上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则t的值为（）

A B. C. D.

8.在平面直角坐标系中，，．以下各曲线：①；②；③；④中，存在两个不同的点M、N，使得且的曲线是（）

A.①② B.③④ C.②④ D.①③

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的有（）

A.数据4，7，6，5，3，8，9，10的第70百分位数为8

B.线性回归模型中，相关系数的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强

C.回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越大，拟合效果越好

D.根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断原假设不成立，即可认为与独立

10.已知O是平面直角坐标系的原点，抛物线C：的焦点为F，，两点在抛物线C上，下列说法中正确的是（）

A.抛物线C的焦点坐标为

B.若，则

C.若点P的坐标为，则抛物线C在点P处的切线方程为

D.若P，F，Q三点共线，则

11.已知函数，则下述结论正确是（）

A.是偶函数 B.的周期是

C.函数的图象关于直线对称 D.的值域为

12.已知函数，则下列说法正确的是（）

A.在上单调递减

B恰有2个零点

C.若，，则

D.若，，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数的定义域为______________.

14.已知正方体分别是正方形和的中心,则和所成的角的大小是______.

15.德国数学家高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成.已知某数列通项______________.

16.已知函数.（1）若，则的解集为______________；（2）若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为______________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.等差数列满足，.等比数列为递增数列，且，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）删去数列中的项（其中，2，3，…，保持剩余项的顺序不变，组成新数列，求数列的前10项和.

18.在四边形中，∥，．

（1）若，求；

（2）若，求．

19.受新冠病毒感染影响，部分感染学生身体和体能发生了变化.为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查.调查的样本中高一年级有70%的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有65%的学生每周运动总时间超过5小时，高三年级有56%的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为9：6：5，用样本的频率估计总体的概率.

（1）从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率；

（2）假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且.现从这三个年级中随机抽取3名学生，设这3名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为Y，求随机变量Y的期望.

20.如图，在三棱锥D-ABC中，，，M，N分别是线段AD，BD的中点，，，，二面角的大小为60°.

（1）证明：△ABC为直角三角形；

（2）求直线BM和平面MNC所成角的正弦值.

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