专题10 函数的三要素重难点突破（解析版）.docx

专题10函数的三要素

一、考情分析

二、经验分享

【重难点1．函数的定义域】

当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有：

①分式的分母不为0；

②偶次根式的被开方数非负；

③要求；

④当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合；

⑤已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；

⑥已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围；

⑦由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求．

名师提醒：

（1）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

（2）已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围．这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．

【重难点2．求函数值或函数的值域】

（1）函数求值即用数值或字母代替表达式中的x，而计算出对应的函数值的过程．注意所代入的数值或字母应满足函数的定义域要求．

求函数值应遵循的原则：

①已知的表达式求时，只需用a替换表达式中的x．

②求的值应遵循由里往外的原则．

③用来替换表达式中x的数a必须是函数定义域内的值．

（2）求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：

①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法．求值域时一定要注意定义域的影响．如函数的值域与函数的值域是不同的；

③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x仅出现在分母上，这样x对函数的影响就比较清晰了；

④换元法：对于一些无理函数（如），通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解．求新元的范围，要根据已知函数的定义域．

【重难点3．函数解析式的求法】

（1）已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数．

（2）已知f（g（x））=h（x），求f（x），常用的有两种方法：

①换元法，即令t=g（x），解出x，代入h（x）中，得到一个含t的解析式，即为所求解析式；

②配凑法，即从f（g（x））的解析式中配凑出“g（x）”，即用g（x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意g（x）的取值范围的限定．

（3）已知f（x）与f（g（x））满足的关系式，要求f（x）时，可用g（x）代替两边所有的x，得到关于f（x）与f（g（x））的方程组，消去f（g（x））解出f（x）即可．常见的有f（x）与f（?x），f（x）与．

（4）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定．

三、题型分析

（一）．函数的定义域

考点1.具体函数的定义域

例1．（1）、（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））设集合，，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先化简集合A，利用集合的交集运算求解.

【详解】

解：因为集合，，

所以，

故选：D

（2）、（2022·广西·平桂高中高二阶段练习（理））函数的定义域为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意求出的解集即可.

【详解】

根据题意，，

解得或，

故答案为：.

【变式训练1-1】、（2021·广西崇左市·崇左高中高一开学考试（文））函数的定义域为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】

根据解析式列出不等式即可求出.

【详解】

由可解得且，

的定义域为.

故选：B.

【变式训练1-2】、（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域是__________．

【答案】##

【解析】

【分析】

根据函数的表达式可得，解不等式即可得结果.

【详解】

要使函数有意义，需满足，解得，

即函数的定义域为，

故答案为：.

考点2.抽象函数的定义域

例2、（1）、（2022·江苏·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据抽象函数的定义域求解规则求解即可.

【详解】

函数的定义域为，即，所以，