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三因素三水平正交多项式回归求解案例

正文：

1.引言

三因素三水平正交多项式回归是一种用于建立多变量回归模型的常用

方法，其可以同时考虑多个因素对于结果的影响，且不易发生多重共

线性问题。在工业实践中，该方法被广泛应用于产品设计、工艺优化

等方面。本文将介绍一个通过三因素三水平正交多项式回归求解的案

例，并对其建模过程进行详细说明。

2.数据收集与处理

本案例中，我们需要建立一种能够预测铸造件硬度的模型，因此我们

选取了铜合金铸件的硬度作为响应变量。同时，我们认为此响应变量

可能会受到铸模温度、铸造压力和冷却时间三个因素的影响。为了获

得足够的数据，我们设计了一组三因素三水平的实验，并随机选取了9

个样本进行测试。

接着，我们将实验数据导入到SPSS统计软件中进行处理。经过数据清

洗和筛选后，得到了一个包含9个样本和4个变量的数据表格。其中，

响应变量为硬度，自变量为温度、压力和时间。

3.建立正交多项式回归模型

在进行回归分析之前，我们需要将自变量进行正交化。通过正交化处

理，可以消除不同自变量之间的相关性，避免多重共线性问题的出现。

在本案例中，我们选择使用斯皮尔曼正交法对自变量进行正交化处理。

接着，我们选取正交自变量进行正交多项式回归分析。在本案例中，

我们选择了二次多项式模型来进行建模。模型的公式如下：

硬度=β0+β1*T+β2*P+β3*H+β4*T^2+β5*P^2+β6*H^2+β7*T*P

+β8*T*H+β9*P*H

其中，T表示温度，P表示压力，H表示冷却时间，β0~β9为回归系数。

4.回归分析结果解释

通过SPSS软件进行回归分析后，我们得出了以下结果：

R2=0.985

AdjR2=0.973

F=81.961

Sig=0.001

根据上述结果，我们可以得出以下结论：

（1）R2指标表明我们建立的模型解释了响应变量变异的98.5%。说明

模型的拟合程度很高。

（2）AdjR2指标比R2更为严格，它考虑的是自变量的数量和样本容

量的影响，因此比R2更能反映出模型的质量。在本案例中，AdjR2为

0.973，说明我们建立的模型的质量很高。

（3）F指标用于检验模型的显著性。在本案例中，F值为81.961，Sig

值为0.001，说明模型的显著性很高，我们可以拒绝零假设并接受备择

假设。

（4）在回归系数中，T^2、P^2和T*P这三个项的p值小于0.05，说

明它们对响应变量的影响是显著的。而T、P、H、H^2、T*H、P*H这

些项的p值大于0.05，说明它们对响应变量的影响不是很显著。

5.结论与建议

通过三因素三水平正交多项式回归，我们成功建立了一种预测铜合金

铸件硬度的模型。根据我们的回归分析结果，我们可以得出以下结论：

（1）温度、压力和冷却时间三个因素对于铜合金铸件的硬度都有着显

著的影响。

（2）在三个因素中，温度和压力这两个因素的影响比冷却时间更为显

著。

（3）二次多项式模型能够对样本数据进行较好的拟合，其拟合优度为

0.985。

为了优化铸造件的硬度，我们建议在实际生产中应该控制温度和压力

这两个因素的水平，避免冷却时间过长引起过度硬化。同时，也可以

通过拟合其他多项式模型，来进一步优化铸造件的硬度。