概率论与数理统计4章.ppt

相互独立的概念可以推广到多于两个随机变量的情形。 (1)n个随机变量ξ1,ξ2,…,ξn相互独立，就是说，对任意个实数x1,x2,…,xn 有(2)一系列随机变量ξ1,ξ2,…,ξn,…相互独立，就是指，对于任意有限个自然数k1,k2,…,kn有ξk1,ξk2,…,ξkn相互独立； 定理１和定理２也可以推广到多于两个随机变量的情形。§4.4边缘分布定义1：对二维随机变量(ξ,η)，若已知其联合分布，则称随机变量ξ或η的概率分布它的边缘分布。定义2：二维随机变量(ξ,η)的分量ξ、η的分布函数Fξ(x)、Fη(x)分别称为(ξ,η)关于ξ、η的边缘分布函数。 设(ξ,η)的联合分布函数F(x,y)为已知，则(ξ,η)关于ξ的边缘分布函数有 由上述可知，Fξ(x)、Fη(x)由F(x,y)唯一确定，但其逆并不一定成立。同理离散型的边缘分布律 二维离散型随机变量(ξ,η)的分量ξ、η都是一维离散型随机变量，ξ、η的分布律P{ξ=xi}、P{η=yj}(i,j=1,2,…)分别称为(ξ,η)关于ξ、η的边缘分布律。 设(ξ,η)的联合分布律pij=P{ξ=xi,η=yj}(i,j=1,2,…)为已知，则(ξ,η)关于ξ的边缘分布律有简记为同理，(ξ,η)关于η的分布律为例１一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：表１有放回抽样的分布律η11010ξη11010ξ表２不放回抽样的分布 设二维连续型随机变量(ξ,η)的联合分布密度为φ(x,y)，则(ξ,η)关于ξ的边缘分布函数Fξ(x)有连续型的边缘分布密度函数其分量ξ是一维连续型随机变量，且ξ的分布密度为 φξ(x)，φη(x)分别称为二维连续型随机变量(ξ,η)关于ξ，η的边缘分布密度。同理，例２设(ξ,η)在椭圆所围成的区域上服从均匀分布。即其联合密度为求它的边缘密度。解(1)当︱x︱a时，(2)当︱x︱≤a时，同理，可得关于η的边缘密度例３设(ξ,η)服从二维正态分布，其联合分布密度为求边缘分布密度。解由前讲知：§4.5随机变量的相互独立性定义设(ξ,η)是二维随机变量，F(x,y)及Fξ(x)、Fη(y)分别是(ξ,η)的联合分布函数及边缘分布函数，若对任意实数x、y有F(x,y)=Fξ(x)·Fη(y)即则称随机变量ξ、η是相互独立。定理１设(ξ,η)是二维连续型随机变量，φ(x,y)及φξ(x)、φη(y)分别是(ξ,η)的联合分布密度及边缘分布密度，则ξ、η相互独立的充要条件是：对任意点(x,y)，有φ(x,y)=φξ(x)·φη(y)证明若ξ，η相互独立，即有此式的两边对x及y求导，便可得到定理２设(ξ,η)是二维离散型随机变量，则ξ、η相互独立的充要条件是：对(ξ,η)的任意一组可能值(xi,yj)有即证明只证充分性即ξ，η相互独立，这就证明了条件的充分性。必要性的证明复杂一些，证明略。解表１有放回抽样的分布律η11010ξ例1检验§4.4中例１有放回抽样和无放回抽样条件下，ξ、η边缘分布的独立性。从表１知：pij=pi.pj.i,j=1,2所以，ξ，η相互独立。η11010ξ表２不放回抽样的分布从表２知：所以，ξ，η不相互独立。例2检验§4.4例２中ξ、η边缘分布的独立性。解显然，所以，ξ，η不相互独立。例3检验§4.4例３中ξ、η边缘分布的独立性。证因为，充分性若r=0，则对任意实数x，y有即ξ、η相互独立。必要性若ξ、η相互独立，则对任意实数x，y有取x=a，y=b时上式也成立，此时上式化为从而得到r=0。例4在某一分钟内的任何时刻，信号进入收音机是等可能的。若收到两个相互独立的信号的时间间隔小于０.５秒，则信号相互干扰。求：两信号相互干扰的概率。解把一分钟取作区间[0，1]，设两信号进入收音机的时刻分别为ξ、η（单位：分）ξ、η相互独立，所以(ξ,η)的联合分布密度如下：第4章随机向量二维随机向量及其分布二维离散型随机向量二维连续型随机向量边缘分布随机变量的相互独立性定义1设ξ1(ω)，ξ2(ω