离散数学(集合论).ppt

集合论集合论十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对这些问题的研究就产生了集合论。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响导致了第三次数学危机。罗素悖论把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：P={A∣A∈A}Q={A∣A?A}问，Q∈P还是Q∈Q？若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A?A的性质，因为Q∈Q，所以Q￠Q，引出矛盾。若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=?，所以Q?Q，还是矛盾。理发师悖论在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”罗素悖论使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派。从1900年到30年这三十年间，许多数学家就数学的哲学基础这一问题展开了讨论，并形成了不同的数学基础学派，主要有逻辑主义、形式主义和直觉主义三大学派集合论部分第3章集合的基本概念和运算第4章二元关系和函数第3章集合的基本概念和运算3.1集合的基本概念3.2集合的基本运算3.3集合中元素的计数3.1集合的基本概念集合的定义与表示集合与元素集合之间的关系幂集集合与元素的关系Ａ＝｛a，｛b，c｝，d｝a?A｛b,c｝?Ab?An元集，m元子集含有n个元素的集合简称n元集,它的含有m个(m≤n)元素的子集称为它的m元子集.例题3.2:A={a,b,c},求A的全部子集.0元子集,即空集,只有1个?.1元子集,即单元集,个{a},{b},{c}2元子集个{a,b},{a,c}{b,c}3元子集1个{a,b,c}n元集的集合个数为:幂集定义P(A)={B|B?A}设A={a,b,c},则P(A)={?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}{a,b,c}}计数:如果|A|=n，则|P(A)|=2n空集和全集全集：如果所涉及的集合都是某个集合的子集,则称这个集合为全集,记作E.第3章集合的基本概念和运算3.1集合的基本概念3.2集合的基本运算3.3集合中元素的计数3.2集合的基本运算集合基本运算的定义?????文氏图（JohnVenn）集合运算的算律恒等式的证明集合基本运算的定义并A?B={x|x?A?x?B}交A?B={x|x?A?x?B}相对补A?B={x|x?A?x?B}对称差A?B=(A?B)?(B?A)=(A?B)?(A?B)绝对补?A=E?A文氏图表示例题A={1,2,3},B={1,4},C={3}A?B={1,2,3,4}=B?AA?B={1}=B?AA-B={2,3}B-A={4}C-A=?A?B