数学4例题与探究：两角和与差的三角函数.docxVIP

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典题精讲

例1计算sin33°cos27°+sin57°cos63°.

思路解析：题目中都是非特殊角，不能直接计算，可将sin57°化为cos33°,cos63°化为sin27°,再逆用两角和差的正、余弦公式,则迎刃而解.

解：原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin（33°+27°）=sin60°=。

或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos（57°—27°)=cos30°=。

绿色通道：从整体出发，对局部进行三角变换，出现特殊值是求值常用的方法。

变式训练1

（陕西高考，文13)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为__________。

思路解析:cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°—sin43°sin77°

=cos120°

=—。

答案：—

例2已知α，β∈(,)，tanα，tanβ是一元二次方程x2+33x+4=0的两根，求α+β。

思路解析：由根与系数关系可得tanα+tanβ，tanαtanβ，因此可先求tan(α+β)，根据其正切值就可以求得其角度.

解：由题意,知tanα+tanβ=，tanαtanβ=4，①∴tan（α+β）=.

又∵α,β∈（，),且由①知α∈(，0），β∈(,0）∴α+β∈(—π,0）。∴α+β=.

黑色陷阱：本题易由α,β∈（,)，得α+β∈(—π，π），从而得出α+β=或，而忽视了隐含条件tanα0,tanβ〈0对α,β范围的限制。

变式训练2

(湖北高考,理3)若△ABC的内角A满足sin2A=，则sinA+cosA等于()

A.B.C.D。

思路解析：由sin2A＝2sinAcosA〉0，可知A为锐角，所以sinA+cosA〉0，又(sinA+cosA）2=1+sin2A=

答案：A

例3已知tanα=,tanβ=，0〈α〈β,则α+2β等于()

A.B。C。或D.

思路解析：选求α+2β的某一三角函数值，显然选择正切较简单.但得出tan(α+2β）=1，就判断选项为B,则非明智之举。

解：∵tan2β=，∴tan(α+2β)==1，

∵tanα=1，∴0〈α〈。tan2β=1,

∴0〈2β〈，∴0〈α+2β。∴α+2β=。

答案：B

黑色陷阱:若本题只考虑0α〈β〈,则∴α+2β∈(0,）,误解为或，原因是忽视了tanα，tanβ的值对α,β取值范围的进一步限制.

变式训练3

(2006福建高考，文4)已知α∈（,π）,sinα=,则tan(α+)等于()

A.B。7C.-

思路解析：由α∈（,π),sinα=，

则tanα=，tan(α+)==.

答案：A

例4(2006浙江高考，理6）函数y=sin2x+sinx，x∈R的值域是（）

A。[—,］B。[，]

C。［+，+]D。［-，-]

思路解析：本题考查三角函数的性质，基础题。首先要对所给的函数表达式进行变换，用降幂公式化为Asin(ωx+φ)+B的形式再解.

解：y=sin2x+sin2x=sin2x-cos2x+=sin(2x—）+。

答案:C

绿色通道：三角函数的最值一般有两种思路，一是化为Asin(ωx+φ）+B的形式，二是化为A（sinx—b)2+c的形式利用二次函数的图象求解.

变式训练4

当x∈［，］时，求f（x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的周期，最大值及此时的x值.

思路解析：首先要对所给的函数表达式进行变换，用降幂公式化为Asin(ωx+φ）+B的形式再解.

解:f（x）=1+cos2x+1+sin2x=sin（2x+）+2。

周期T=π。

当x∈[,］时，2x+∈［,］.

sin(2x+）∈［-1,1］,∴f（x）∈［2—，2+］.

∴f(x）max=2+.由2x+=2kπ+得x=kπ+。

又∵x∈[，］，∴x=.即当x=时，f（x)的最大值为2+。

问题探究

问题1如图3—1—1,在直角坐标系xOy中，单位圆O与x轴交于P0，以Ox为始边分别作出角α，β,α-β，其终边分别和单位圆交于P1，P2，P3，由|｜=｜|,你能否导出两角差的余弦公式?