2023年北京市初三一模数学试题汇编：等腰三角形与直角三角形.docx

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2023北京初三一模数学汇编

等腰三角形与直角三角形

一、填空题

1．（2023·北京顺义·统考一模）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交，于点，，若，，则的周长是________．

2．（2023·北京平谷·统考一模）如图，在中，，，平分，若，则______．

二、解答题

3．（2023·北京通州·统考一模）直线是线段的垂直平分线，垂足为点O，点C是直线上一点，连接．以为斜边作等腰直角，连接．

(1)如图1，若，求的度数；

(2)如图2所示，点E是直线上一点，且，连接，延长至点F，使得，连接．根据题意补全图2，写出线段之间的关系，并证明．

4．（2023·北京海淀·统考一模）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在中，．求证：．

方法一证明：如图，延长到点D，使得，连接．

方法二证明：如图，在线段上取一点D，使得，连接．

5．（2023·北京房山·统考一模）下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，选择其中一种完成证明．

等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合一）．

方法一：已知：如图，中，，平分．

求证：，．

方法二：已知：如图，中，，点为中点．

求证：，．

方法三：已知：如图，中，，．

求证：，

参考答案

1．

【分析】根据垂直平分线的性质求出，求出的周长即可．

【详解】解：是的垂直平分线，分别交，于点，

，

，

的周长为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了等腰三角形性质和线段的垂直平分线性质，根据垂直平分线的性质求出是解答本题的关键．

2．2

【分析】根据题意可得，再根据角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论．

【详解】解：∵，，

∴，

∵平分，

∴，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了含的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，以及角平分线的定义，解题的关键是掌握同高的三角形，面积比等于底的比．

3．(1)

(2)见解析；，

【分析】（1）先证明全等三角形，得到等角，然后直接计算角度即可；

（2）先按要求画图，然后证明两组全等三角形，即可得到边相等且平行的关系．

【详解】（1）∵直线是线段的垂直平分线，垂足为点O，

∴，

∵是等腰直角三角形，

∴，，

∵，

∴，

∵在和中，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）如图，连接，

与（1）同理可得：，

∴，，

∴，

∴，

∵在和中，

∴，

∴，，

∴，，

∴．

【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰直角三角形的性质，解题关键是通过已知条件判定全等三角形，得到边和角的关系．

4．证明见解析

【分析】方法一：如图，延长到点D，使得，连接，先证明，得到，进而证明是等边三角形，得到，由此即可证明；

方法二：如图，在线段上取一点D，使得，连接，先求出，进而证明是等边三角形，得到，，进一步证明，得到，即可证明．

【详解】证明：方法一：如图，延长到点D，使得，连接，

∵，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴，即；

方法二：如图，在线段上取一点D，使得，连接，

∵，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．

5．证明见解析

【分析】三种方法证明，利用全等三角形的性质即可证明结论．

【详解】证明：方法一：∵平分，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

∵，

∴，即，

∴，；

方法二：∵点为中点，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

∵，

∴，即，

∴，；

方法三：∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，．

【点睛】本题主要考查了三线合一定理的证明，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．