全国甲卷2024年普通高等学校招生全国统一考试数学文试卷含解析.docxVIP

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（全国甲卷）2024年一般高等学校招生全国统一考试数学（文）试卷

留意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并仔细核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，，则()

A. B. C. D.

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类学问.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类学问问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则()

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.若.则()

A. B. C. D.

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为()

A.8 B.12 C.16 D.20

5.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是()

A. B. C. D.

6.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()

A. B. C. D.

7.函数在区间的图像大致为()

A. B.

C. D.

8.当时，函数取得最大值-2，则()

A.-1 B. C. D.1

9.在长方体中，已知与平面ABCD和平面所成的角均为30°，则()

A. B.AB与平面所成的角为30°

C. D.与平面所成的角为45°

10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面绽开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和.若，则()

A. B. C. D.

11.已知椭圆的离心率为，，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若，则C的方程为()

A. B. C. D.

12.已知，，，则()

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量，.若，则______________.

14.设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________.

15.记双曲线的离心率为e，写出满意条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________.

16.已知中，点D在边BC上，，，.当取得最小值时，________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行状况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

准点班次数

未准点班次数

A

240

20

B

210

30

（1）依据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

附：，

0.100

0.050

0.010

k

2.706

3.841

6.635

18.（12分）

记为数列的前n项和.已知.

（1）证明：是等差数列；

（2）若，，成等比数列，求的最小值.

19.（12分）

小明同学参与综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，，，，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.

（1）证明：平面ABCD；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

20.（12分）

已知函数，，曲线在点处的切线也是曲线的切线.

（1）若，求a；

（2）求a的取值范围.

21.（12分）

设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点.当直线MD垂直于x轴时，.

（1）求C的方程；

（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为，.当取得最大值时，求直线AB的方程.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，