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《衍生金融工具》（第二版）习题及答案第10章

1.证明：对于单步二叉树模型而言，0d1+rtu是市场无套利

的充要条件。的充要条件。

必要性：利用反证法进行证明，假设1+rT=d,则在0时刻以利率

r借入S数量的资金购买1单位股票，则在T时刻，若股价上涨有

uS(1+rT)S,若股价下跌有dS(1+rT)S，即无论上涨还是下跌，均存

在套利机会，故假设不成立。因此d1+rT;同理，若1+rTu,亦可构

造无风险套利，所以1+rT0,u1+rT0,ud=1,所以d0。

充分性：需证明当0d1+rtd1+rtu，可定义风险中性概率

测度测度

qu=ProbQ{ST=STu}=1+rT?du?d

qd=ProbQ{ST=STd}=u?1?rTu?d

易知0

考察随机变量ΦT的数学期望

E(ΦT)=quΦTu+qdΦTd=1+rT?d

u?d(αS0u+βB0(1+rT))+u?1?rT

u?d

(αS0d+βB0(1+rT))=

(1+rT)Φ0=0.

即quΦTu+qdΦTd=0，因为0

2.阐述现实世界和风险中性世界的区别与联系。

现实世界和风险中性世界是同一个世界，对应的是同一个样本空

间，它包含了金融市场上所有可能的感兴趣的未来状态的集合。不同

的是，现实世界和风险中性世界对这些集合（表示事件）中随机事件

发生的概率的看法不一致，对必定发生和必定不发生的事件的概率看

法仍然是一致的，即现实世界和风险中性世界的概率测度是等价的。

因为在现实世界，证券（包括股票/债券/期权等衍生产品）价格是唯

一确定的，在风险中性世界，证券价格也是唯一确定的，因为是同一

个世界，证券价格是确定的事件，因此风险中性世界中的证券价格必

定等于现实世界中的证券价格，所以在风险中性世界对证券进行定价。

风险中性世界通过状态价格消除了不同状态的证券风险溢价，因

此证券的期望收益率等于无风险利率，或者说收益期望值贴现的利率

等于无风险利率，状态价格对应为风险中性概率。

在现实世界中，投资人所承受的风险越大，他们所要求的回报回

越高；而在风险中性世界中，投资风险增长时，投资人并不要求额外

的预期回报率。尽管这两个世界差别很大，但我们给出的衍生品价格

不但在风险中性世界中是正确的，在我们所生活的世界里也是正确的。

这是因为当我们利用标的资产的价格对期权定价时，投资人对风险的

态度是不重要的。当投资人对风险更加厌恶时，股票价格将会下跌，

但是将期权价格与股票价格联系起来的公式是不变的。

3.什么是风险中性定价？

风险中性原理是指：在以状态价格消除了风险溢价后的风险中性

世界中，投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率对

应的都是无风险收益率，风险中性的投资者不需要额外的收益补偿其

承担的风险。在风险中性的世界里将风险中性概率下的期望值用无风

险利率折现可以获得现金流量的现值。根据这个原理在期权定价时只

要先求出期权执行日价值的风险中性概率下的期望值，然后用无风险

利率折现求出期权的现值，即为期权在风险中性世界里的价值，它等

于现实世界里的期权价格。这就是风险中性定价原理。

4.已知标的股票当前价格为50美元，期权的执行价格为52美元，

无风险年利率为5%，每半年股票价格或者上涨20%，或者下跌20%。

利用两步二叉树分别计算1年期欧式和美式看跌期权价格，并指出看

跌期权中是否存在节点会提前执行期权。

由题意u=1.2，d=0.8，K=52，T=1，r=0.05

计算得：

p=erT/N?du?d=e0.05×0.5?0.81.2?0.8

=0.5633对于欧式看跌期权而言，一年后，股票价格有三种可能，

分别是E.72