历年高考数学（文）知识清单-专题19 不等式选讲（考点解读）（原卷+解析版）.docxVIP

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专题19不等式选讲

考情解读

预测高考对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解

答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查。

重点知识梳理

知识点一、含有绝对值不等式的解法

1.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法

(1)若c0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤-c，然后根据a，b的

值解出即可.

(2)若c0，则|ax＋b|≤c的解集为?,|ax＋b|≥c的解集为R.

2.|x－a|＋|x－b|≥c(c0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法

可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.

(1)零点分区间法的一般步骤

①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；

②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；

③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；

④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.

(2)利用绝对值的几何意义

由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，

因此对形如|x－a|＋|x－b|c(c0)或|x－a|－|x－b|c(c0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.

3.f|(x)|g(x)，f|(x)|g(x)(g(x)0)型不等式的解法

(1)f|(x)|g(x)?f(x)g(x)或f(x)－g(x).

(2)f|(x)|g(x)?-g(x)f(x)g(x).

知识点二、不等式的证明

1.证明不等式的常用结论

(1)绝对值的三角不等式

定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0，等号成立.

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定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.

推论1：||a|－|b||≤|a＋b|.

推论2：||a|－|b||≤|a－b|.

(2)三个正数的算术—几何平均不等式：如果a，b，c∈R＋，那么≥3，当且仅当a＝b＝c时

等号成立.

(3)基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，?,an，它们的算术平均值不小于它们的几

何平均值，即≥n，并且仅当a1＝a2=?=an时等号成立.

(4)一般形式的柯西不等式

设a1，a2，a3，?,an，b1，b2，b3，?,bn是实数，则(a＋a2+?+a)·(b＋b2+?+b)≥(a1b1＋a2b2

+?+anbn)2，并且仅当bi＝0(i＝1，2，?,n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，?,n)时，等号成立.

2.证明不等式的常用方法

(1)比较法

一般步骤：作差—变形—判断—结论.为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者

变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负.

(2)综合法

利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因

导果”的方法.

(3)分析法

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等

式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法.

(4)反证法和放缩法

①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正

确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法.

②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，

这种方法叫作放缩法.

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高频者点突破

高频考点一解绝对值不等式

例1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知f(x)=|x一a|x+|x一2|(x一a).

（1）当a=1时，求不等式f(x)0的解集；

（2）若xe(一伪,1)时，f(x)0，求a的取值范围.

【变式探究】已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.

（1）求不等式f(x)≥1的解集；

（2）若不等式f(x)≥x2–x+m的解集非空，求实数