数学推理思想的再认识——数学推理与数学命题.pdfVIP

数学推理的再认识

——数学推理与数学命题之间的关系

推理也是数学最为显著的特征。

人们通过抽象，得到数学的研究对象和研究对象之间的关系。数学的研究对象最终以定

义的形式出现，可以是基于对应的定义，也可以是基于内涵的定义，如自然数、实数、点、

线、面等。数学研究对象之间的关系包括两方面的内容，一方面的内容是研究对象的度量

与运算，包括长度、面积、角度的度量。以及加、减、乘、除、极限这五种运算；另一

方面的内容是表示关系的逻辑术语，这些术语具有因果、转折、递进、对比、补充、选择等

功能，如存在、相等、属于、介于、平行、垂直、因为、所以等。

数学的推理，就是把表示关系的运算方法、逻辑术语运用于研究对象，得到数学的结论

或者验证数学的结论。因为数学的结论最终可以归结为数学命题。

因此，数学推理就是得到数学命题或者验证数学命题的思维过程。

在这个意义上，就数学思想而言，数学研究对象的确立依赖的是抽象，数学内部自身的

发展依赖的是推理。

那么，关于数学推理，应该关注什么是数学的推理、数学推理方法本身的合理性，以便

最终目的是实现数学推理过程的条理化。数学的结论各式各样，得到结论的思维过程和验证

结论的思维过程更是百花齐放，那么，应当如何在这些错综复杂的思绪中抓住事物本质、理

清思维脉络呢？

先回顾一下笛卡儿的建议，笛卡儿在《探求真理的指导原则》的第六个原则中说：

要从错综复杂的事物中区别出最简单事物，然后进行有秩序的研究。这就要求我们在那

些已经通过演绎得到真理的推理过程中，观察哪一个事物是最简单项，以及观察这个项与其

他项之间关系的远近，或者相等。

笛卡儿认为这个原则是他这部著作中最有用的，是揭示科学奥秘的基本方法。笛卡儿

所说的研究方法的实质就是，把要进行推理的事物排成一个系列，然后找出系列中的最简单

项进行逐项判断。对于数学的论证，笛卡儿所说的系列就是由条件出发，最后得到结论的整

个过程，这个过程是由一些最简单项首尾连接而成的。因此，讨论数学的推理，就是要认清

推理过程中的最简单项是什么，然后从这些最简单项入手，讨论最简单项的特征，讨论推理

过程中最简单项之间是如何首尾连接的，进而讨论数学的推理是如何作为的。

许多人会把数学的推理等同于数学的证明，因为数学证明的思维过程依赖的是演绎推理，

于是认为数学推理就是演绎推理，甚至认为逻辑推理就是演绎推理。这种认识不仅是不全面

的，甚至对于数学教育还是有害的。

数学的推理是一种有逻辑的推理，其中的逻辑性就表现在上面所说的推理过程中最简

单项之间的首尾相接。逻辑推理既包括演绎推理也包括归纳推理在一般情况下，人们借助归

纳推理“推断”数学的结果，借助演绎推理“验证”数学结果。在这个意义上，数学的结果

是“看”出来的，而不是“证”出来的。

虽然数学不是经验科学，也不是实验科学，但数学概念的形成依赖基于经验的抽象，数

学推理的过程依赖基于直觉的思维。因此，经验的积累，特别是思维经验和实践经验的积累

对于学习数学是至关重要的，学习数学的要义不仅仅是为了“记住”一些东西，甚至不仅

仅是为了掌握一些“会计算”“会证明”的技巧，而是能够“感悟”数学所要研究问题的

本质，“理解”命题之间的逻辑关系，在“感悟”和“理解”的基础上学会思考，最终形成

数学的直觉和数学的思维。这也是《标准(2011年版)》中提出“四基”，强调“基本思想”

和“基本活动经验”的本意。

一、数学推理的基础是什么？

数学最基本的表达方式是定义和命题：数学的定义述说了数学的研究对象，数学的命题

述说了数学的研究结果。如果说数学抽象主要是建立数学定义、关系以及运算法则的思维过

程，那么数学推理就是建立数学命题以及验证数学命题的思维过程。

定义和命题都是陈述句，在形式上是很难区别的。因此，在具体讨论之前，有必要从

功能上认识清楚定义与命题的区别是什么。或许，下面的结论会出乎大多数人的常识：中国

古代先哲在这方面有过极为精辟的论述。许多重要的论述被记录在《墨经》这部经典之中，

比如，《墨经·小取》中“以名举实，以辞抒意，以说出故”这段话就阐述了定义、命题、

推理之间的关系。这段话实在是言简意赅，但其中的含义是明确的，寓意是深刻的。我们用

现代语言把这段文字表述如下：

通过定义（名）明确所讨论问题的对象（实），通过命题（辞）表述所讨论问题的实

质（意