历年高考数学（文）知识清单-专题03 函数的应用（考点解读）（原卷+解析版）.docxVIP

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专题3函数的应用

考情解读

求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；

掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力.

重点知识梳理

1．函数的零点与方程的根

(1)函数的零点

对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点.

(2)函数的零点与方程根的关系

函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的

横坐标.

(3)零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在

区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的根.

注意以下两点：

①满足条件的零点可能不唯一；

②不满足条件时，也可能有零点.

(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解.

2．应用函数模型解决实际问题的一般程序

读题建模求解反馈

???

.文字语言..数学语言..数学应用..检验作答.

与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和

导数的有关知识加以综合解答.

3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题

方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，

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即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋

势找到方程中字母参数所满足的各种关系.

高频者点突破

高频考点一函数的零点判断

例1、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数f(x)=2sinx-sin2x在[0，2π]的零点个数为()

A．2B．3

C．4D．5

【方法技巧】函数零点的求法

(1)判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出

图象判断.

(2)已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转化为函数图象交点个数；也可以利用

函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解.

(3)对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看

其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

【变式探究】设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()

A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)

高频考点二、二次函数的零点

例2、（2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)0的解集是 .若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是.

【变式探究】已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.

(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；

(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.

【方法技巧】

解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与

系数之