北师大版必修第二册第2章5.pptxVIP

§5从力的做功到向量的数量积

5.1向量的数量积;自主预习·新知导学;自主预习·新知导学;一、向量数量积的定义

【问题思考】

1.如图2-5-1,一个物体在力F的作用

下产生位移s.

(1)如何求这个力所做的功?

(2)力做功的大小与哪些量有关?

提示:(1)W=|F||s|cosθ.

(2)与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.;2.(1)数量积的定义:;A.钝角三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.等腰直角三角形;二、投影

【问题思考】

1.在初中我们学过的投影的定义是什么?

提示:一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫作物体的投影.;(2)几何意义:

a与b的数量积等于b的长度|b|与a在b方向上

的投影数量|a|cosθ的乘积;或a的长度|a|与b

在a方向上投影数量|b|cosθ的乘积.?;3.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在b方向上的投影数量为

().

A.-4 B.4

C.-2 D.2;三、数量积的运算律与运算性质

【问题思考】

1.已知两个非零向量a,b,θ为a与b的夹角,e为与b方向相同的单位向量.

(1)根据数量积公式,计算a·e,a·a.

(2)若a·b=0,则a与b有什么关系?

(3)当θ=0°和180°时,数量积a·b分别是什么?;提示:(1)a·e=|a||e|cosθ=|a|cosθ,a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2.

(2)∵a·b=0,a≠0,b≠0,

∴cosθ=0,θ=90°,a⊥b.

(3)当θ=0°时,a·b=|a|·|b|;

当θ=180°时,a·b=-|a|·|b|.;2.(1)数量积的运算律

对任意向量a,b,c与实数λ:

①交换律:a·b=b·a;

②与数乘的结合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb);

③关于加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.;(2)数量积的性质

①若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cosa,e;

②若a,b是非零向量,则a·b=0?a⊥b;;3.想一想:a·(b·c)=(a·b)·c成立吗?

提示:(a·b)·c≠a·(b·c),因为a·b,b·c是数量积,是实数,不是向量,所以(a·b)·c与向量c共线,a·(b·c)与向量a共线.因此,(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立.;合作探究·释疑解惑;探究一平面向量数量积的运算;反思感悟向量数量积的求法:

(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；

(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.;探究二求向量的模;1.本例2的条件不变,求|3a+b|.;2.例2的已知条件若改为|a|=|b|=5,???|3a-2b|=5,如何求|3a+b|的值?

解:因为|3a-2b|2=9a2-12a·b+4b2

=9×25-12a·b+4×25=325-12a·b,

又因为|3a-2b|=5,

所以325-12a·b=25,即a·b=25.

所以|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+6a·b+b2=9×25+6×25+25=400.

所以|3a+b|=20.;反思感悟1.求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,不要忘记开方.

2.a·a=a2=|a|2或|a|=,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.;探究三向量的夹角与垂直问题;解:(1)∵(2a-3b)·(2a-b)=4a2-8a·b+3b2=64-8a·b+27=43,

∴a·b=6,即|a|·|b|cosθ=12cosθ=6,;反思感悟1.求向量的夹角,主要是利用公式cosθ=求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.

2.求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.