北师大版必修第二册第5章2.pptxVIP

§2复数的四则运算

2.1复数的加法与减法;自主预习·新知导学;自主预习·新知导学;一、复数的加法与减法

【问题思考】

1.已知复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).

(1)多项式的加减实质是合并同类项,类比想一想复数如何加减?

(2)复数的加法满足交换律和结合律吗?

(3)利用问题(1)的结果试说明复数加法满足交换律.;提示:(1)两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减),即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.

(2)满足.

(3)∵z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,

z2+z1=(c+di)+(a+bi)=(c+a)+(d+b)i,

∴z1+z2=z2+z1.;2.(1)复数加法与减法的运算法则

两个复数的和仍是一个复数,两个复数的和的实部是它们的实部的和,两个复数的和的虚部是它们的虚部的和,也就是:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a,b,c,d∈R);

两个复数的差仍是一个复数,两个复数的差的实部是它们的实部的差,两个复数的差的虚部是它们的虚部的差,也就是:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i(a,b,c,d∈R).;(2)复数的加法运算满足如下运算律:

①结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3);

②交换律:z1+z2=z2+z1.;3.(1)已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2=().

A.8i B.6

C.6+8i D.6-8i

(2)复数(1-i)-(2+i)+3i等于().

A.-1+i B.1-i

C.i D.-i

解析:(1)z1+z2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6.

(2)(1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.故选A.

答案:(1)B(2)A;二、复数加法与减法的几何意义

【问题思考】

1.在实数范围内a-b0?ab恒成立,在复数范围内是否有z1-z20?z1z2恒成立呢?

提示:若z1,z2∈R,则z1-z20?z1z2成立.否则z1-z20z1z2.

比如,z1=1+i,z2=i,虽然z1-z2=10,但不能说1+i大于i.

2.复数|z1-z2|的几何意义是什么?

提示:复数|z1-z2|表示复数z1,z2在复平面内对应的点Z1与Z2间的距离.;;答案:1-i;合作探究·释疑解惑;探究一复数的加、减运算;(2)方法一:设z=x+yi(x,y∈R),因为z+1-3i=5-2i,

所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,

所以z=4+i.

方法二:因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.;反思感悟1.复数运算可类比实数运算,若有括号,则括号优先;若无括号,则可从左到右依次进行.

2.算式中出现字母时,首先确定其是不是实数,然后将实部与实部,虚部与虚部分别相加减.;探究二复数加、减法几何意义的综合运用;反思感悟1.解决复数问题时,设出复数的代数形式z=x+yi(x,y∈R),利用复数相等或模的概念,列方程求实部、虚部可把复数问题实数化.

2.利用复数加、减运算及模的几何意义,应用数形结合的思想,可以直观简便地解决复数问题.;3.掌握以下常用结论:

在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则当点A,B,C,O能构成四边形时,

(1)四边形OACB为平行四边形;

(2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;

(3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;

(4)若|z1|=|z2|,且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.;易错辨析;因混淆实数运算与复数运算致误

【典例】已知复数z满足|z+1|=1,|z+i|=|z-i|,求复数z.

错解:由|z+1|=1,得z+1=±1,解得z=0或z=-2.

又因为|z+i|=|z-i|,所以z=0.

以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?

提示:上述解法的错误在于混淆了复数的运算与实数的运算、复数的模与实数的绝对值的区别.;防范措施解决复数问题时,应注意实数的绝对值与复数的模的区别,涉及复数的模的计算问题,应采取复数问题实数化的方法,通过建立方程(组)进行求解.