北师大版必修第二册第6章6.pptxVIP

§6简单几何体的再认识

6.3球的表面积和体积;自主预习·新知导学;自主预习·新知导学;球的表面积与体积

【问题思考】

1.依据生活经验我们知道,不能将橘子皮展成平面,因为橘子皮近似于球面,这种曲面不能展成平面图形.我们知道圆柱、圆锥、圆台的侧面面积,可以利用它们在平面内的展开图求出,由于球面不能展成平面图形,那么,人们又是怎样计算球面的面积的呢?古人在计算圆周率时,一般是用割圆术,即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长.理论上,只要取得圆内接正多边形的边数越多,圆周率越精确,直到无穷.这种思想就是朴素的极限思想.;(1)运用上述思想能否计算球的表面积和体积?

(2)求球的表面积和体积需要什么条件?

(3)设球的半径为R,则它的体积V=πR3,表面积S=4πR2.观察这两个公式,它们都有什么特点?;提示:(1)能.

(2)已知球的半径即可.

(3)这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R唯一确定.其中球的体积是半径R的三次函数,球的表面积是半径R的二次函数,并且表面积为半径为R的圆的面积的4倍.;;3.已知球的表面积是16π,则该球的体积为.?

解析:设球的半径为R,则由题意可知4πR2=16π,解得R=2,;合作探究·释疑解惑;探究一球的表面积与体积;反思感悟1.一个关键

抓住球的表面积公式S球面=4πR2,球的体积公式V球=πR3是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件.把握住公式,球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.

2.两个结论

(1)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方;

(2)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方.;探究二球的截面问题;答案:A;反思感悟球的截面问题的解题技巧

(1)有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.

(2)解题时要注意借助球半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2.;探究三内切球与外接球问题;(2)正方体内接于球,则正方体的体对角线是球的直径.

设球的半径是R,则正方体的体对角线长为2R.;1.(变换条件)若将例3第(2)题的条件“正方体的顶点都在同一个球面上”变为“圆柱内接于球,圆柱的底面半径r=3,高h=8”,求球的表面积.

解:设球的??径为R.依题意,圆柱的轴截面四边形内接于球的大圆.;2.(变换条件,改变结论)若将例3第(2)题的条件“正方体的表面积是a2,它的顶点都在球面上”变为“长方体的一个顶点处的三条棱长分别是,它的八个顶点都在同一个球面上”,求这个球的体积.

解:设球的半径为R,则长方体的体对角线长为2R,;反思感悟1.处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总在几何体的特殊位置,比如中心、对角线的中点等.

2.解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来解决.;易错辨析;球的平行截面问题因思维不严密致误

【典例】一个球内有相距9cm的两个平行截面,面积分别为49πcm2和400πcm2,求球的表面积.

错解:如图6-6-6,由题意知π·CA2=49π,∴CA=7cm.

又π·BD2=400π,∴BD=20cm.

设OD=xcm,球的半径为Rcm,

则有(CD+DO)2+CA2=R2=OD2+DB2,

即(9+x)2+72=x2+202,∴x=15,R=25.

∴S球面=4πR2=2500πcm2.;以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?

提示:上述解法的错误在于考虑不周,由于球心可能在两个截面的同一侧,也可能在两个截面之间,因此解决此题要分类讨论.;正解:①当截面在球心的同侧时,如图6-6-7(球的轴截面),

AO1∥BO2,O1,O2分别为两截面圆的圆心,则OO1⊥AO1,OO2⊥BO2,设球的半径为R.

由题意知π·O2B2=49π,

∴O2B=7cm.

同理,π·O1A2=400π,∴O1A=20cm.

设OO1=xcm,则OO2=(x+9)cm.;在Rt△OO1A中,R2=x2+202,

在Rt△OO2B中,R2=(x+9)2+72,

∴x2+202=72+(x+9)2,解得x=15.

∴R2=x2+202=252,解得R=25cm.

∴S球面=4πR2=2500π(cm2),

即球的表面积为2500πcm2.;②当截面在球心的异侧时,如图6-6-8(球的轴截面),O1A∥O2B,O1,O2分别为两截面圆的圆心,则OO1⊥AO1,OO2⊥O2B