专题3.4 辅助圆定点定长（隐圆压轴一）（解析版）.pdf

专题3.4辅助圆定点定长

模型一：定点定长作圆

点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，

则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆

模型二：点圆最值

已知平面内一定点D和O，点E是O上一动点，设点O与点D之间距离

为d，O半径为r.

位置关系点D在O内点D在O上点D在O外

图示

DE的最大值d＋r2rd＋r

连接DO并延长交O于点E

此时点E的位置

DE的最小值r－d0d－r

连接OD并延长交

此时点E的位置点E与点D重合连接OD交O于点E

O于点E

【典例1】（1）【学习心得】

于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助

圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中AB＝AC，∠BAC＝90°D是△ABC外一点

且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心AB为半径作辅助⊙A，则

点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可

容易得到∠BDC＝45°．

（2）【问题解决】

如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC

的度数．

（3）【问题拓展】

如图3，如图EF是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连

接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段

DH长度的最小值是﹣1．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）如图1，∵AB＝ACAD＝AC

∴以点A为圆心AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上

∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角

∴∠BDC＝∠BAC＝45°

故答案为：45；

（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．

∵∠BAD＝∠BCD＝90°

∴点A、B、C、D共圆

∴∠BDC＝∠BAC

∵∠BDC＝25°

∴∠BAC＝25°

（3）如图3，在正方形ABCD中AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠

CDG

在△ABE和△DCF中

∴△ABE≌△DCF（SAS）

∴∠1＝∠2

在△ADG和△CDG中

∴△ADG≌△CDG（SAS）

∴∠2＝∠3

∴∠1＝∠3

∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°

∴∠1+∠BAH＝90°

∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°

取AB的中点O，连接OH、OD

则OH＝AO＝AB＝1

在Rt△AOD中OD＝＝＝

根据三角形的三边关系OH+DH＞OD

∴当O、D、H三点共线时DH的长度最小

最小值＝OD﹣OH＝﹣1．

（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHBAB直径的半圆上运动当O、

H、D三点共线时DH长度最小）

故答案为：﹣1．

【变式1-1】如图，在四边形ABCD中AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠

BCD＝105°，则∠BDC＝．

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【解答】解：以A为圆心AB为半径画圆

∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC

∵