高考理科数学二轮总复习课后习题 考点突破练与专题检测14 圆锥曲线中的最值、范围、探索性问题.docVIP

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考点突破练14圆锥曲线中的最值、范围、探索性问题

1.(新高考Ⅱ,21)已知椭圆C:x2a2+

(1)求C的方程;

(2)点N为椭圆上任意一点,求△AMN的面积的最大值.

2.(新高考Ⅰ,21)已知点A(2,1)在双曲线C:x2

(1)求l的斜率;

(2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面积.

3.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A,B,求△F1AB面积最大时直线l的方程.

4.(河北保定一模)如图,双曲线的中心在原点,焦距为27,左、右顶点分别为A,B,曲线C是以双曲线的实轴为长轴,虚轴为短轴,且离心率为12

(1)求椭圆及双曲线的标准方程.

(2)设MN与x轴交于点T,是否存在点P使得xP=4xT(其中xP,xT为点P,T的横坐标)?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

5.(浙江,21)如图,已知椭圆x212+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q(0,12)

(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;

(2)求|CD|的最小值.

6.(山西临汾二模)已知点F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,点P是C右支上一点,△F1F2P的周长为18,点I为△F1F2P的内心,且满足△PF2I,△F1F2I,△PF

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)过点F2的直线l与双曲线的右支交于M,N两点,与y轴交于点Q,满足QM=mMF2,QN=n

考点突破练14圆锥曲线中的最值、范围、探索性问题

1.解(1)由题意可知直线AM的方程为y-3=12(x-2),即x-2y+4=0.当y=0时(2,3),可得4a2+9

(2)设与直线AM平行的直线方程为距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时△AMN的面积取得最大值.

由x-2y=m,x216+y212=1得16y2+12my+3m2-48=0,所以Δ=144m2-4×16(3m2-48)=0,即m2=64,解得m=±8,与AM距离比较远的直线方程为方程为的距离即两平行线之间的距离d=|-8

2.解(1)∵点A(2,1)在双曲线C:x2

∴4a2

∴双曲线的标准方程为x22-y

易知直线l的斜率存在.

设直线l的方程为y=kx+m,点P(x1,y1),Q(x2,y2),由x2-2y2

∴Δ0,x1+x2=4km1-2k2,x

设直线AP,AQ的斜率分别为kAP,kAQ,则kAP+kAQ=y1

∴(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(-1)(-1)(-1-2k)(-1)=0,

∴2k(-2m2-2)+4km(m-1-2k)-4(m-1)(1-2k2)=0,即2k2+k(m+1)+m-1=0,(k+1)(2k+m-1)=0.∴k=-1或m=1-2k,把m=1-2k代入y=kx+m,得y=kx+1-2k=k(x-2)+1,此时直线PQ过点A(2,1),舍去,∴k=-1,即直线l的斜率为-1.

(2)由(1)知,直线l的方程为y=-2+2,则x12+x22=12m2-4,∴

∴△PAQ的面积S△PAQ=12d·|PQ|=2|3-m|m2-1.由tan∠PAQ=22得cos∠PAQ=13,sin∠PAQ=223.∴S△PAQ=

在△PAQ中,由余弦定理得cos∠PAQ=|PA

∴|PA|2+|QA|2-|PQ|2=(2-6m+9=|3-m|m2-1,∴|m-3|=m

∴S△PAQ=2

3.解(1)∵|F1F2|=2c=4,可得c=2,则F1(-2,0),F2(2,0),由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|=(3+2)2+1+(3-2)

(2)由题意,设点A(y-2=0,Δ0显然成立,则有y1+y2=-4mm2+3,y1y2

∴S△F1AB=12|F1F2

令t=m2+1≥1,则S△F

4.解(1)由已知可设双曲线标准方程为x2a2

由题意得a2+

所以双曲线的标准方程是x24-

(2)(方法一)设P(x0,t),M(x1,y1),N(x2,y2),A(-2,0),B(2,0),由P,A,N三点共线,得y2x2+2=tx

联立x=my+n,3x2+4y2-12=0,消去2+4)y2+6mny+3n2-12=0,Δ=36m2n2-4(3m2+4)(3n

所以y1+y2=-6mn3m2+4,y1y2=3

若存在xP=4xT,即x0=4n,则2-n2+n

又点P在第一象限,所以n=1,P(4,3).

(方法二)设P((x1,y1),N(x2,y2),A(-2,0),B(2,0),直线AP:

y=y0x0+2(x+2),联立y=y0x0+2(x+2),

Δ=