高考数学二轮总复习课后习题 考点突破练与专题检测20 利用导数研究函数的零点问题.docVIP

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考点突破练20利用导数研究函数的零点问题

1.(全国Ⅲ,文20)已知函数f(x)=x3-kx+k2.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.

2.(黑龙江哈师大附中三模)已知f(x)=ex·sinx-x.

(1)若g(x)=2-2x-f(

(2)当x∈(-∞,π)时,讨论f(x)零点个数.

3.(湖南娄底模拟)已知函数f(x)=ex+kx2-x(其中k≥0),g(x)=xex-x.

(1)证明:函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增;

(2)判断方程f(x)=g(x)在R上的实根个数.

4.(广东深圳二模)已知函数f(x)=emx-1-x.

(1)讨论函数f(0时,函数g(x)=f(x)-lnx+1m

②证明:g(x)m1

考点突破练20利用导数研究函数的零点问题

1.解(1)f(x)=3x2-k.当k=0时,f(x)=x3,故f(x)在(-∞,+∞)单调递增;当k0时,f(x)=3x2-k0,故f(x)在(-∞,+∞)单调递增.当k0时,令f(x)=0,得x=±3k3.当x∈(-∞,-3k3)时,f(x)0;当x∈(-3k3,3k3)时,f(x)0;当x∈(3k3,+∞)时,f(x)0.故f(x)在(-∞,-3k3),(3k

(2)由(1)知,当k≤0时,f(x)在(-∞,+∞)单调递增,f(x)不可能有三个零点.当k0时,x=-3k3为f(x)的极大值点,x=3k3为f(x)的极小值点.根据f(x)的单调性,当f3k30,f-3k30,即k2-2k3k9

因此k的取值范围为(0,427)

2.(1)证明g(x)=2-

g(x)=(2-x-exsinx)ex-(2-

(2)解f(x)=exsinx-x,x∈(-∞,π),

则f(x)=exsinx+excosx-1,x∈(-∞,π),

当x≤-π2时,因为exe-π2,f(x)=exsinx+excosx-1=ex·(sinx+cosx)-1≤2ex-1≤2e-π2-12e-1-10,此时f(x)在区间

所以f(x)在区间-∞,-π

令h(x)=exsinx+excosx-1,

当-π2x≤π2时,h(x)=2e

所以f(x)在区间-π2,π2上单调递增,又f(0)=0,故当-π2x0时,f(x)0,故f(x)在区间-π2,0上单调递减,且f(0)=0,当0xπ2时,f(x)0,故f(x)在区间0,π2上单调递增,因此当-π

故?x0∈π2,π,使得f(x0)=0,且当x∈π2,x0时,f(x)0,f(x)单调递增,当x∈(x0,π)时,f(x)0,f(x)单调递减,而fπ2=eπ2

3.(1)证明f(x)=ex+2kx-1,设F(x)=ex+2kx-1,则F(x)=ex+2k,因为k≥0,所以F(x)0,所以F(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)=F(x)≥F(0)=0,当且仅当x=0时,取得等号,所以函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.

(2)解方程f(x)=g(x)在R上有且仅有1个实根.

证明如下:

方程f(x)=g(x),即ex+kx2-x=xex-x,

即(x-1)ex-kx2=0,

令h(x)=(x-1)ex-kx2,则h(x)=x(ex-2k),

因为当x1时,h(x)0,则h(x)在区间(-∞,1)上无零点,

所以只需证明h(x)在区间[1,+∞)上有且只有一个零点.

①若k∈0,

当x≥1时,h(x)≥0,则h(x)在区间[1,+∞)上单调递增,

又因为h(1)=-k≤0,h(2)=e2-4k≥e2-2e0,

所以h(x)在区间[1,+∞)上有且只有一个零点;

②若k∈e2,+∞,由h(x)0,得xln(2k),由h(x)0,得1≤xln(2k),所以h(x)在区间[1,ln(2k))上单调递减,在区间(ln(2k),+∞)上单调递增.又因为h(1)=-k0,h(k+1)=kek+1-k(k+1)2=k[e

令t=k+12,m(t)=et-t2,则m(t)=et-2t,

令φ(t)=et-2t,φ(t)=et-2,因为t2,所以φ(t)0,

所以m(t)=φ(t)在区间(2,+∞)上单调递增,

所以m(t)m(2)=e2-40,

所以m(t)在区间(2,+∞)上单调递增,

所以m(t)m(2)=e2-40,即h(k+1)0,

所以h(x)在区间[1,+∞)上有且只有一个零点.

综上所述,当k∈[0,+∞)时,h(2ememememx-1-1=0,得x=1-

当x∈-∞,1

当x∈1-lnmm,+

(2)①g(x)=f(0),

函数g(emx-1-1mx

设h(x-1-1,则h(x-10,

所以函数h(=1时,f(x)≥f1-lnmm=f(