高考理科数学二轮总复习课后习题 考点突破练与专题检测20 利用导数证明问题.docVIP

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考点突破练20利用导数证明问题

1.(陕西榆林三模)已知函数f(x)=的值;

(2)证明:-1e≤f(x)ex2x

2.已知函数f(x)=ex-lnx+lna.

(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)证明:f(x)≥1+1+lnaa

3.(四川自贡三模)已知函数f(x)=(x-2)ex+x+2(e为自然对数的底数).

(1)判断x∈[0,+∞),f(x)的单调性并说明理由;

(2)证明:对?n∈N*,lnn+113

4.(陕西西安一模)已知函数f(x)=ex-a(x2+x)-1,x∈(0,+∞).

(1)若a=0,证明:f(2n.

5.(四川凉山二模)已知函数f(x)=alnx-x2-1

(1)f(x)为函数f(x)的导函数,f(x)≤0对任意的x0恒成立,求实数a的取值范围;

(2)若函数f(x)有两个不同的极值点x1,x2(x1x2),证明:2sinx2-2x1-alnx2+alnx10.

6.已知函数f(x)=(20.

(1)讨论函数g(≥1,证明:当x0时,g(x)≥f(x).

考点突破练20利用导数证明问题

1.(1)解由题意,f(x)=1+lnx(=-e.

(2)证明因为f(x)=1+lnx,x0,由f(x)0,得0x1e,f(x)在(0,1e)上单调递减,由f(x)0,得x1e,f(x)在(1e,+∞)上单调递增;∴f(x)≥f(1e)=-1e;又f(x)ex2x等价于lnxxex2x3.令g(x)=lnxx,则g(x)=1-lnxx2.当0xe时,g(x)0,g(x)在(0,e)上单调递增;当xe时,g(x)0,g(ax=g(e)=1e.

2.(1)解因为f(x)=ex-lnx+1,所以f(x)=ex-1x

(2)证明令g(x)=x-1-lnx,则g(x)=1-1x=x-1x

令h(x)=ex-xa,则h(x)=ex-1a,则h(x)在(0,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(-lna)=

①+②可得ex-lnxa≥1+

即f(x)≥1+1+lna

3.(1)解f(x)在[0,+∞)上单调递增.理由如下:∵f(x)=(x-2)ex+x+2,∴f(x)=(x-1)ex+1,令g(x)=(x-1)ex+1,则g(x)=xex,∴当x∈[0,+∞)时,g(x)≥0,g(x)单调递增,∴g(x)≥g(0)=0,即f(x)≥0,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增.

(2)证明由(1)知x∈(0,+∞),f(x)=(x-2)ex+x+2f(0)=0,

∴x2(

则lnt2(

令t=n+1n(n∈N*

则lnn+1n

∴ln21+ln32+ln43+…+lnn+1n2(13+15+…+12n+1),而ln21+ln32+ln43+…+lnn+1n=ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln(n+1)-lnn=ln(n+1)-ln1=ln(n+1),∴ln(n+1)2(1

4.证明(1)因为a=0,所以f(x)sinx等价于ex-sinx-10.令g(x)=ex-sinx-1,x∈(0,+∞),则g(x)=ex-cosx.当x≥0时,ex≥1,cosx≤1,则g(x)≥0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增.当x0时,g(x)g(0)=0,故ex-sinx-10,即f(x)sinx.

(2)因为a=1,所以f(x)=ex-x2-x-1,x∈(0,+∞),则f(x)=ex-2x-1.令h(x)=ex-2x-1,x∈(0,+∞),则h(x)=ex-2.当x∈(0,ln2)时,h(x)0,h(x)单调递减,当x∈(ln2,+∞)时,h(x)0,h(x)单调递增.因为h(0)=0,h(ln2)=1-2ln20,h(2)=e2-50,所以n∈(ln2,2),f(n)=0.当x∈(0,n)时,f(x)=h(x)0,f(x)单调递减,当x∈(n,+∞)时,f(x)=h(x)0,f(x)单调递增.因为f(0)=0,所以f(n)0.又f(2)=e2-70,所以m∈(n,2),f(m)=0.要证m2n,只需证f(m)f(2n),即e2n-4n2-2n-10.因为f(n)=en-2n-1=0,所以e2n-4n2-2n-1=(2n+1)2-4n2-2n-1=2n.显然2n0,故m2n.

5.(1)解依题意得f(x)=ax-1-1x2=ax-x2-1x

(2)证明由(1)知当a≤2时f(x)单调递减,无极值点,不满足条件.当a2时,令f(x)=0,得x2-ax+1=0,则Δ=a2-40,所以其两根为x1,x2,由韦达定理得x1+x2=a,x1·x2=1.又x1x2,∴0x11x2,满足条件,令g(x)=x-