高考数学二轮总复习课后习题 考点突破练与专题检测8 空间距离、折叠与探索性问题.docVIP

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考点突破练8空间距离、折叠与探索性问题

1.(广东湛江二模)如图1,在五边形ABCDE中,四边形ABCE为正方形,CD⊥DE,CD=DE,如图2,将△ABE沿BE折起,使得A至A1处,且A1B⊥DE.

图1

图2

(1)证明:DE⊥平面A1BE;

(2)求平面CA1E与平面A1ED夹角的余弦值.

2.(广东揭阳模拟)如图所示的四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥AB,DC=2AD=2AB=2a,PA=PD,二面角P-AD-B的大小为135°,点P到底面ABCD的距离为a2

(1)过点P是否存在直线l,使直线l∥平面ABCD?若存在,作出该直线,并写出作法与理由;若不存在,请说明理由.

(2)若PM=2MC,求点M到平面PAD的距离.

3.(湖南师大附中模拟)如图,在斜三棱柱ABC-DEF中,△ABC是边长为2的正三角形,BD=CD=43

(1)求三棱柱ABC-DEF的体积.

(2)在线段DF(含端点)上是否存在点G,使得平面GBC与平面ABC的夹角为60°?若存在,请指出点G的位置;若不存在,请说明理由.

4.(山东青岛一模)如图,在Rt△PAB中,PA⊥AB,且PA=4,AB=2,将△PAB绕直角边PA旋转2π3到△

(1)是否存在点D,使得BC⊥PD?若存在,求出∠CAD的大小;若不存在,请说明理由.

(2)当四棱锥P-ABDC体积最大时,求平面PCD与平面PBD夹角的余弦值.

5.(广东佛山二模)如图所示的一块木料中,底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E,F是PC,AD的中点.

(1)若要经过点E和棱AB将木料锯开,在木料表面应该怎样画线,请说明理由并计算截面周长;

(2)若要经过点B,E,F将木料锯开,在木料表面应该怎样画线,请说明理由.

6.(湖南长邵中学模拟)如图1,已知△ABC是边长为2的等边三角形,D是边AB的中点,DH⊥BC,如图2,将△BDH沿边DH翻折至△BDH.

图1

图2

(1)在线段BC上是否存在点F,使得AF∥平面BDH?若存在,求BFFC

(2)若平面BHC与平面BDA夹角的余弦值为13

考点突破练8空间距离、折叠与探索性问题

1.(1)证明由题意可知∠BEC=∠CED=π4,所以∠BED=π2,故DE⊥BE.因为A1B⊥DE,A1B∩BE=B,A1B,BE?平面A1BE,所以DE⊥平面A

(2)解取BE的中点O,连接A1O,CO,由等腰三角形的性质可知,A1O⊥BE,CO⊥BE.

由BE=2CE,CE=2CD,可知BE=2CD,OE=CD.由DE⊥BE,且CD⊥DE,可知OE∥CD,四边形OCDE为平行四边形,则CO∥DE,故CO⊥平面A1BE.

令BE=2,以O为坐标原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,1),E(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,1,0).

EA1=(1,0,1),EC=(1,1,0),ED=(0,1,0),A1B=(1,0,-1).设平面A

因为A1B·

所以平面A1ED的一个法向量为m=A1B=(1,0,-1),所以cosm,n=

故平面CA1E与平面A1ED夹角的余弦值为63

2.解(1)过点P存在直线l,满足直线l∥平面ABCD.理由如下:

过点P在平面PAD内作直线l平行于直线AD.

因为l∥AD,l?平面ABCD,AD?平面ABCD,

所以l∥平面ABCD.

(2)取线段AD的中点为O,线段BC的中点为E,连接OE,OP,因为四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,所以OE∥AB.又AD⊥AB,所以AD⊥OE.因为PA=PD,所以PO⊥AD.又PO∩OE=O,PO,OE?平面POE,所以AD⊥平面POE.

在平面POE内过点O作直线ON⊥OE,交直线PE于点N,则直线OA,OE,ON两两垂直.以O为原点,OA,OE,ON所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

过点P作PF∥NO,交直线OE于点F.

因为ON⊥OA,ON⊥OE,OA,OE?平面ABCD,OA∩OE=O,所以ON⊥平面ABCD,故PF⊥平面ABCD.

又点P到底面ABCD的距离为a2,所以PF=a

因为OE⊥AD,OP⊥AD,所以∠POE为二面角P-AD-B的平面角.

由已知可得∠POE=135°,所以∠POF=45°,所以OF=a2

所以A(a2,0,0),D(-a2,0,0),P(0,-a2,a2),C(-a2,2a,0),所以AD=(-a,0,0),PA=(a2,a2,-a

因为PM=2MC,所以PM=23PC=(-a3,5a3,-a3)

设平面PAD的法向量为n=(x,