广东省2025届高三“熵增杯”8月份阶段适应性测试数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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广东省2025届高三“熵增杯”8月份阶段适应性测试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则的子集个数为（）

A. B. C. D.

〖答案〗C

〖解析〗解不等式，得，则，

解不等式，即，解得或，

因此或，则，

所以的子集个数是2.

故选：C.

2.已知，则（）

A. B. C. D.

〖答案〗B

〖解析〗由，得，即，

因此，

所以.

故选：B.

3.已知随机变量的分布列如下表所示：

若，且，则（）

A. B. C. D.

〖答案〗C

〖解析〗由，得，，

则，，

由，得，所以.

故选：C.

4.若单位向量与向量垂直，则（）

A. B. C. D.

〖答案〗B

〖解析〗依题意，，，

所以.

故选：B.

5.瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：，其中为反应速率常数，为摩尔气体常量，为热力学温度，为反应活化能，为阿伦尼乌斯常数．对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和（此过程中与的值保持不变），经计算，若，则（）

A. B. C. D.

〖答案〗A

〖解析〗由题意知：，

，则.

故选：A.

6.在中，和是方程的两实数根，则（）

A. B. C. D.

〖答案〗D

〖解析〗由和是方程的两实数根，得，

在中，.

故选：D.

7.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则的最小值为（）

A. B. C. D.

〖答案〗A

〖解析〗由奇函数，得，

由是偶函数，得，

联立解得，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是.

故选：A.

8.已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则当最小时，（）

A. B.

C. D.

〖答案〗D

〖解析〗设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面半径，

侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长，

因此，，．

记，，则，

因为在0,π上递减，且，，

所以存在唯一的满足，即，

且当时，，则在上单调递增，

当时，，则在上单调递减，

于是是的极大值点，也是最大值点，此时，

而最小，当且仅当最大，所以.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法一定正确的有（）

A.若，则

B.若，，，则

C.在的展开式中，所有有理项的系数之和为

D.若，，，则

〖答案〗BC

〖解析〗对于A，不能推出，即不一定有意义，A错误；

对于B，依题意，，所以，B正确；

对于C，，展开式的通项为：

，当时，为有理项，

因此展开式中所有有理项的系数之和为，C正确；

对于D，，，

而，因此，D错误.

故选：BC.

10.已知函数的图象交坐标轴于，，三点，部分图象如图所示，是直角三角形，.函数的图象是由的图象作如下变换得来：纵坐标不变，横坐标变为原来的.则（）

A.

B.的最小正周期为

C.为偶函数

D.在区间上单调递增

〖答案〗ACD

〖解析〗依题意，点，

由，得，

即，而，于是，

又，解得，，

对于A，，A正确；

对于B，，最小正周期为，B错误；

对于C，为偶函数，C正确；

对于D，当时，，函数在上单调递增，D正确.

故选：ACD.

11.已知抛物线：的焦点为，准线为，点，在上（在第一象限），点在上，以为直径的圆过焦点，（），则（）

A.若，则

B.若，则

C.的面积最小值为

D.的面积大于

〖答案〗ABD

〖解析〗对于A，设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，

因为两点在抛物线上，根据抛物线的定义，，

又，

则，所以，故A正确；

对于B，设点在准线上的投影为点，

因为以为直径的圆过焦点，

所以，且|AF|=|AM|，

所以，

又因为，所以，

即，，

由焦半径公式，故B正确；

对于C，分两种情况：当点都在第一象限，

设，，

由焦半径公式可得，，

所以，

令，

设，且，

所以，当且仅当时取得最小值，

当点在第二象限时，设，，

则，，

所以，

同理令，且，

所以，

所以，

当且仅当时取得最小值，

综上，面积的最小值为，故C错误：

对于D，当点都在第一象限，，，，

则，所以，即，

所以

当点在第二象限时，同理可得，

即，

所以，

综上，的面积大于，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

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