【2019年整理】多元函数微分概念.docVIP

知识点：多元函数微分概念

背景知识与引入方法

二元函数的微分概念的要点是：在一点附近用线性函数近似地表示函数，微分的几何意义是在一点附近用平面近似地代替曲面．微分就是将函数“局部线性化”，或者将曲面“局部展平”．理解微分概念的关键是理解“线性化”和“局部”的含义.

微分概念有不同的表述方式，它们在理论和应用方面有不同的优点．可以根据专业背景和学生的接受能力，选择不同的讲解方法．

该知识点讲解方法

讲解方法一：

设二元函数SKIPIF10在SKIPIF10的某个邻域中有定义.当自变量有改变量SKIPIF10时,如果存在一个以SKIPIF10为自变量的线性函数SKIPIF10,使得函数改变量

SKIPIF10

可以表示成

SKIPIF10(1)

其中SKIPIF10满足

SKIPIF10(2)

则称SKIPIF10在点SKIPIF10可微.其中线性函数SKIPIF10称为SKIPIF10在点SKIPIF10的微分(即全微分),记作SKIPIF10或SKIPIF10.

讲解方法二：

设二元函数SKIPIF10在SKIPIF10的某个邻域中有定义.当自变量有改变量SKIPIF10时,如果存在常数SKIPIF10,使得函数改变量

SKIPIF10

可以表示成

SKIPIF10(1)

其中SKIPIF10满足

SKIPIF10(2)

则称SKIPIF10在点SKIPIF10可微.其中

SKIPIF10

是变量SKIPIF10的线性函数,这个线性函数称为SKIPIF10在点SKIPIF10的微分(即全微分),记作SKIPIF10或SKIPIF10.

注释：讲解方法一和讲解方法二基本相同，只不过方法一更加抽象．在近代分的教科书中，一般使用讲解方法一；国内的微积分教科书中一般采用讲解方法二.上述两种讲解方法虽然严密，但是比较抽象，初学者不容易理解.国外一些有影响的教材大都不采用这种定义方法，而是采用一些变通方式，降低难度以便于学生理解.当然，降低难度不能损失科学性.

讲解方法三

如果存在常数SKIPIF10，使得函数SKIPIF10在SKIPIF10的改变量SKIPIF10可以表示成

SKIPIF10

其中SKIPIF10是SKIPIF10的函数，满足

SKIPIF10,SKIPIF10

则称SKIPIF10在SKIPIF10可微，并且称SKIPIF10是SKIPIF10在SKIPIF10的全微分.

注释：讲解方法3与讲解方法2的区别仅在于误差的形式.可以证明两个定义是等价的.(见下面相关知识中的定理1.)这个讲解方法的好处，是对于复合函数微分法的证明会带来一些方便．缺点是比较抽象，而且不如讲解方法一、二那样切中微分概念的关键之处（即SKIPIF10）.

具体建议：可以将这个讲法作为可微性的充分必要条件讲解．

（参考[1]）

讲解方法四

设二元函数SKIPIF10在点SKIPIF10存在两个偏导数SKIPIF10.令

SKIPIF10SKIPIF10

如果当SKIPIF10时，有

SKIPIF10

则称SKIPIF10在点SKIPIF10可微，并且称

SKIPIF10

为SKIPIF10在点SKIPIF10的微分.

当SKIPIF10在点SKIPIF10可微时，用SKIPIF10表示SKIPIF1