高考理科数学二轮总复习课后习题 专题五 解析几何 考点突破练14 圆锥曲线中的最值、范围、探索性问题.docVIP

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考点突破练14圆锥曲线中的最值、范围、探索性问题

1.(新高考Ⅱ·21)已知椭圆C:x2a2

(1)求C的方程;

(2)点N为椭圆上任意一点,求△AMN的面积的最大值.

2.(新高考Ⅰ·21)已知点A(2,1)在双曲线C:x2

(1)求l的斜率;

(2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面积.

3.(山东淄博一模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)设过点F2且倾斜角不为0的直线l与椭圆E的交点为A,B,求△F1AB面积最大时直线l的方程.

4.(陕西汉中检测一)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,点P在椭圆C上,且满足|PF2

(1)求椭圆C的方程.

(2)已知过点(1,0)且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于M,N两点,在QO=∠NQO?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

5.(浙江·21)如图,已知椭圆x212+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q0,12在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-1

(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;

(2)求|CD|的最小值.

6.(陕西榆林二模)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p0)与直线l:|为半径的圆上的一点(非原点),过点G作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B.

(1)求抛物线C的方程;

(2)求△ABG面积的取值范围.

考点突破练14圆锥曲线中的最值、范围、探索性问题

1.解(1)由题意可知直线AM的方程为y-3=12(x-2),即x-2y+4=0.当y=0时(2,3),可得4a2+9b

(2)设与直线AM平行的直线方程为距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时△AMN的面积取得最大值.

由x-2y=m,x216+y212=1得16y2+12my+3m2-48=0,所以Δ=144m2

所以S△AMN=12×35

2.解(1)∵点A(2,1)在双曲线C:x2

∴4a2-1a2-1=1,解得a2=2.∴双曲线的标准方程为x22-y

由x2-2y2

∴Δ0,x1+x2=4km1-2k2,x

设直线AP,AQ的斜率分别为kAP,kAQ,则kAP+kAQ=y1-1x1-2+y

∴2k(-2m2-2)+4km(m-1-2k)-4(m-1)(1-2k2)=0,即2k2+k(m+1)+m-1=0,(k+1)(2k+m-1)=0.∴k=-1或m=1-2k,把m=1-2k代入y=kx+m,得y=kx+1-2k=k(x-2)+1,此时直线PQ过点A(2,1),舍去,

∴k=-1,即直线l的斜率为-1.

(2)由(1)知,直线l的方程为y=-2+2,则x12+x22=12m2-4,∴|PQ|=

∴△PAQ的面积S△PAQ=12d·|PQ|=2|3-m|m2-1.由tan∠PAQ=22得cos∠PAQ=13,sin∠PAQ=223.∴S△PAQ

∴13|PA|·|QA|=|3-m|m

在△PAQ中,由余弦定理得cos∠PAQ=|PA

∴|PA|2+|QA|2-|PQ|2=(2-6m+9=|3-m|m2

∴|m-3|=m2

即m=53

∴S△PAQ=2×

3.解(1)∵|F1F2|=2c=4,可得c=2,则F1(-2,0),F2(2,0),

由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|=(3+2)2+1

∴b=a2-c

(2)由题意,设点A(,y1y2=-2m

∴S△F1AB=12|F1F2|·|y1

令t=m2+1≥1,则S△F1

此时直线l的方程为x-y-2=0或x+y-2=0.

4.解(1)在△PF1F2中,∵|PF2|=2,∴|PF1|=2a-2,

又∵e=12,∴a=2c,又∠F1PF2=π3,则由余弦定理得4c2=(2a-2)2+4-2(2a-2),即a2=4(a2-2a+1)+4-4a+4,整理得a2-4a+4=0,解得a=2,b=3,∴椭圆方程为

(2)假设存在点Q(m,0)满足条件,设直线l:(x1,y1),N(x2,y2),

由x=ty+1,x24+y23=1,得(4+3t2)y2

由∠MQO=∠NQO,得kMQ+kNQ=0,即y1

整理得y1(),将x1=ty1+1,-1)(y1+y2)=2ty1y2,即-6t(m-1)

5.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),∵Q0,12在直线AB上,∴设直线AB为y=kx+12,

设E(x,y)为椭圆上除P之外的一点且P(0,1),则|PE|2=(y-1)2+x2=(y-1)2+12-12y2=-11y2-2y+13=-11y2+211y+1112+111+13=-11y+1112+14