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8第八章空间解析几何答案

第八章空间解析几何与向量代数

§8.1向量及其线性运算

1.填空题

（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面

对称的点为（）.

（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴

对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.

2.已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.

解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，，.

3.在平面上，求与、、等距离的点.

解：设该点为，则

，即，解得，则该点为.

4.求平行于向量的单位向量的分解式.

解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向.因为，所以.

5.已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.

解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.

§8.2数量积向量积

1.若，求的模.

解：

所以.

2.已知，证明：.

证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.

3.。。。。

4.已知，，求与的夹角及在上的投影.

解：，

，.因为，所以.

5..

§8.3曲面及其方程

1.填空题

（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面

的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.

（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.

（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为

（）.2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.

解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点

的轨迹为以点为心，半径为的球面.

3

§8.4空间曲线及其方程

1.填空题

（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直

线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平

行于轴且过点）.

（2）旋转抛物面在面上的投影为（），在面上的投影为（），在

面上的投影为（）.

2.求球面与平面的交线在面上的投影方程.

解：将代入，得，因此投影方程为.

4.分别求母线平行于轴、轴及轴且通过曲线的柱面方程.

解：在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.

在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.

在中消去得，即为母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.

4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：

（1）.

解：将代入得，即.令，，所求的参数方程为

.

.

§8.5平面及其方程

1.填空题

（1）一平面过点且平行于向量和，平面的点法式方程为（）,平

面的一般方程为（）,平面的截距式方程（）,平面的一个单位法向量为

（）.（2）设直线的方程为，当（）时，直线过原点；当（）且（或

有一个成立）时，直线平行于轴但不与轴相交；当（）时，直线与轴

相交；当（）时，直线与轴重合.

2.求过三点，和的平面方程.

解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为

=0，即.

3.求过点且垂直于两平面和的平面方程.

解：该平面的法向量为，平面的方程为，即.

4.分别按下列条件求平面方程：

（1）平行于平面且经过点；

（2）通过轴和点；

（3）求平行于轴，且经过两点和的平面方程.

解：（1）平面的法向量是，可作为所求平面的法向量，因此所求

平面的方程为，即.

（2）所求平面的法向量即垂直于轴又垂直于向量，所以所求平面

的法向量为，因此所求平面的方程为，即.

（3）由于所求平面平行于轴，故设所求平面方程为.将点和分别

代入得及，解得及.因此所得方程为，即.

§8.6空间直线及其方程

1.填空题

（1）直线和平面的关系是（平面与直线互相垂直）.

（2）过点且与直线平行的直线的方程是（）.

（3）直线与直线的夹角为（）.

2.