第48讲　排列与组合.docx

第十章计数原理、概率及其分布

第48讲排列与组合

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激活思维

1．(人A选必三P5T1(1))一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是__9__．

【解析】因为一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，所以从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是5＋4＝9.

2．(人A选必三P5T1(2))从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是__6__．

【解析】因为从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，所以从A村经B村去C村，不同路线的条数是3×2＝6.

3．(人A选必三P25T3(2))有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩．如果物理和化学恰有1门被选，那么共有__12__种不同的选法．

【解析】如果物理和化学恰有1门被选，那么共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12(种)不同的选法．

4．(人A选必三P11T1)乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后共有__45__项．

【解析】根据多项式的乘法法则，(a1＋a2＋a3)·(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后每一项均是从(a1＋a2＋a3)，(b1＋b2＋b3)，(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)中各取1项相乘得到，所以展开后的项数为3×3×5＝45.

5．(人A选必三P26T9)学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序．除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有__288__种不同的排法．

【解析】第一步排音乐节目，有Aeq\o\al(4,4)种排法；第二步排舞蹈节目，有Aeq\o\al(3,3)种排法；第三步排曲艺节目，有Aeq\o\al(2,2)种排法．所以共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝288(种)排法．

聚焦知识

1．两个计数原理的区别与联系

分类加法计数原理

分步乘法计数原理

相同点

用来计算完成一件事的方法种数

不同点

分类、相加

分步、相乘

每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事

每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)

注意点

类类独立，不重不漏

步步相依，缺一不可

2．排列与组合的概念

名称

定义

排列

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素

按照__一定的顺序__排成一列

组合

作为一组

3．排列数与组合数

(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__不同排列__的个数，用符号__Aeq\o\al(m,n)__表示．

(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__不同组合__的个数，用符号__Ceq\o\al(m,n)__表示．

4．排列数、组合数的公式及性质

公式

(1)Aeq\o\al(m,n)＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__＝eq\f(n！,(n－m)！)(n，m∈N*，且m≤n).

(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)

＝eq\f(n！,m！(n－m)！)(n，m∈N*，且m≤n).特别地Ceq\o\al(0,n)＝1

性质

(1)0！＝__1__；Aeq\o\al(n,n)＝__n！__．

(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝__Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m-1,n)__

研题型能力养成

举题说法

两个计数原理的应用

例1(2023·义乌调研)学校举行德育知识竞赛，甲、乙、丙、丁、戊5位同学晋级到了决赛环节，通过笔试决出了第1名到第5名．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对他们说：“决赛5人的成绩各不相同，但你们俩的名次是相邻的”，丙、丁两名参赛者也去询问成绩，回答者对丙说：“很遗憾，你和丁都未拿到冠军”，又对丁说：“你当然不会是最差的”．从以上回答分析，5人的名次排列不同的可能情况种数是(B)

A．14 B．16

C．18 D．20

【解析】由题意可知，冠军不会是丙、丁，且丁不是第5名．当冠军为甲、乙两人中的一人时，由于甲、乙两