第54讲　正态分布.docx

第54讲正态分布

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激活思维

1．(人A选必三P87T1)设随机变量X～N(0，1)，则X的密度函数为__f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\s\up10(\f(x2,2))__，P(X≤0)＝__0.5__，P(|X|≤1)≈__0.6827__，P(X＞1)≈__0.1587__．(精确到0.0001)

【解析】由题意知，随机变量X～N(0，1)，则X的密度函数为f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\s\up10(\f(x2,2)).因为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，根据正态密度曲线的对称性，可得P(X≤0)＝0.5，P(|X|≤1)＝P(－1≤X≤1)≈0.6827，P(X≤1)＝P(X＜0)＋P(0≤X≤1)≈0.5＋eq\f(0.6827,2)＝0.8414，P(X＞1)＝eq\f(1－0.6827,2)≈0.1587.

2．(人A选必三P87T2)设随机变量X～N(0，22)，随机变量Y～N(0，32)，则P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系是__P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1)__．

【解析】如图，X～N(0，22)，Y～N(0，32)的正态密度曲线都关于y轴对称，P(|X|≤1)＝P(－1≤X≤1)，P(|Y|≤1)＝P(－1≤Y≤1).因为σ越大，曲线越扁平，所以P(|X|≤1)＞P(|Y|≤1).

3．(人A选必三P87T2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170，52)，现随机选择一名本市高二年级的男生，则P(165≤X≤175)＝__0.6827__．

【解析】由题可得，身高X作为变量符合均值为μ＝170，σ＝5的正态分布，P(165≤X≤175)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827.

4．(人A选必三P87T3)若X～N(μ，σ2)，则X位于区域[μ，μ＋σ]内的概率是__0.34135__．

【解析】由题意知，随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，根据正态密度曲线的对称性，可得P(μ≤X≤μ＋σ)＝eq\f(1,2)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈eq\f(1,2)×0.6827＝0.34135.

5．(人A选必三P87T4)袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，可估计这批袋装食盐的合格率为__95.45%__．

【解析】设误差为X，则X～N(0，4)，所以P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，故合格率约为95.45%.

聚焦知识

1．定义

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·e－eq\s\up10(\f((x－μ)2,2σ2))，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为__X～N(μ，σ2)__．

2．正态曲线的特点

(1)曲线是单峰的，它关于直线__x＝μ__对称；

(2)曲线在__x＝μ__处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；

(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．

3．3σ原则：假设X～N(μ，σ2)，则

(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；

(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；

(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.

4．正态分布的均值与方差

若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝__μ__，D(X)＝__σ2__．

研题型能力养成

举题说法

正态分布的性质

例1(2023·南京、盐城期末)(多选)若X～N(μ，σ2)，则下列说法正确的是(AC)

A．P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)

B．P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＜P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)

C．P(X＜μ＋σ)不随μ，σ的变化而变化

D．P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)随μ，σ的变化而变化

【解析】由题意知P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)，故A正确；P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＝P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)，故B错误；P(X＜μ＋σ)为定值，不随μ，σ的变化而变化，故C正确；P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)为定值，也不随μ，σ的变化而变化，故D错误．

(1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定．曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示．

(2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

甲 乙

变式设X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σ