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勾股定理与弦图
勾股定理与弦图
课前预习
课前预习
华盛顿的傍晚
在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿,有一位中年人,他聪明又勤奋,他潜心探讨,他反复思考与演算……,那是1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨。由于好奇心驱使,加菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他在干什么?那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”加菲尔德答道:“是5呀。”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”加菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩说:“先生,你能说出其中的道理吗?”加菲尔德一时语塞,无法解释了,心里很不是滋味。加菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算,终于弄清了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。
具体方法如下:两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE,则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。
即(AC+DE)×CD÷2=AC×BC÷2+BD×DE÷2+AB×BE÷2
化简整理得
此种解法主要利用了三角形的面积公式:底×高÷2,和梯形的面积公式:(上底+下底)×高÷2.
而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪?
在我国古代,把直角三角形叫做勾股形。
把直角三角形的较短直角边称为“勾”,较长直角边为“股”,斜边称为“弦”,所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。即:在直角三角形中俩条直角边的平方和等于斜边的平方。
公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五.既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五.
三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实.
汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句,长面曰股,相与结角曰弦.句短其股,股短其弦.
句股各自乘,并,而开方除之,即弦.
勾股定理的证明:
(1)方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形:
(2)方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形:
(3)方法三:“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形:
知识框架
知识框架
勾股定理:直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方.
注:勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。
勾股定理实际上包含两方面的内容:
eq\o\ac(○,1)如果一个三角形是直角三角形,那么两条直角边的平方之和等于斜边的平方;
②如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么它一定是直角三角形.
勾股数:
满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.
常用勾股数:3、4、5;5、12、13;7、24、25;8、15、17。
弦图:
重难点
重难点
1.会用勾股定理解决简单问题。
2.会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形
3.勾股定理与弦图的联系与应用
例题精讲
例题精讲
【例1】五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是()
ABCD
【考点】勾股定理【难度】☆【题型】选择
【解析】根据勾股定理:直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方,252=72+242,242≠202+152,所以A、B错;252=152+202,所以C正确;252≠72+202,252不等于152+242,D错。
【答案】C
【巩固】如果下列各组数是三角形的三边,那么不能组成直角三角形的一组数是()
A.7,24,25B.3,4,5C.3,4,5D.4,7,8
【考点】勾股定理【难度】☆【题型】选择
【解析】因为(3)2+(4)2≠(5)2,所以C错误
【答案】C
【例2】已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港
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