第35讲　直线、平面垂直的判定与性质.docx

第35讲直线、平面垂直的判定与性质

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1．(人A必二P162T1(2)改)已知直线m，n和平面α，如果n?α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的(B)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

【解析】n?α，m⊥neq\o(?,/)m⊥α，充分性不成立；若m⊥α，n?α，则m⊥n，必要性成立．故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件．

2．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是(C)

A．若m?β，α⊥β，则m⊥α

B．若m∥α，n∥α，则m∥n

C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β

D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

【解析】A中，若m?β，α⊥β，则m与α相交、平行或m?α，故A错误．B中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误．C中，若m⊥β，m∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确．D中，若α⊥γ，α⊥β，则β与γ相交或平行，故D错误．

3．(人A必二P162T1改)(多选)下列说法正确的是(CD)

A．垂直于同一条直线的两条直线平行

B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

【解析】对于A，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，故A错误；对于B，若平面α⊥平面β，则两平面一定相交，设交线为直线a，显然a?α，但直线a与平面β不垂直，故B错误；对于C，若平面α⊥平面β，它们的交线记为直线l，显然直线l?平面β，在平面α内一定有直线m∥l，则直线m∥平面β，故C正确；对于D，若平面α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，所以如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，故D正确．

4．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则A1C与侧面BCC1B1所成角的正弦值为(B)

A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(6),4)

C．eq\f(\r(10),4) D．eq\f(\r(15),5)

【解析】如图，取B1C1的中点E，连接A1E，CE.根据题意易得A1E⊥侧面BCC1B1，所以∠A1CE即为A1C与侧面BCC1B1所成的角．根据题意易知A1E＝eq\r(3)，A1C＝2eq\r(2)，所以sin∠A1CE＝eq\f(A1E,A1C)＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4).

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的动点，当点M满足条件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的__②(或③)__时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件的序号即可)．

【解析】连接AC(图略).因为PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，所以PA⊥BD.因为底面各边都相等，所以AC⊥BD.因为PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又PC?平面PAC，所以BD⊥PC.当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.

聚焦知识

1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言

符号语言

判定定理

如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线都垂直__，那么该直线与此平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α，,a∩b＝O，,l⊥a，,l⊥b))?l⊥α

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α，,b⊥α))?a∥b

2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言

符号语言

判定定理

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β，,l⊥α))?α⊥β

性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β，,l?β，,α∩β＝a，,l⊥a))?l⊥α

3．角与距离

定义

备注

线面角

平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角

范围：__eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))__

二面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形

二面角的平面角

以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角

范