利用数学思想处理三角函数问题.docVIP

利用数学思想处理三角函数问题

利用数学思想处理三角函数问题

利用数学思想处理三角函数问题

利用数学思想处理三角函数问题

利用数学思想处理三角函数问题

?1、数形结合思想

体现在三角函数中是利用单位圆中三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根得个数、比较大小等。

?例１、从小到大得顺序是___＿____＿__、

?解析：这些角都不是特殊角，求出值来再比较行不通,若注意到相差较大,容易利用单位圆上得三角函数线区分它们各自函数值得大小、

?设（如图所示）

?可知ｂlt；0

例2、函数得定义域是_＿________＿_、

?解析:该函数定义域即不等式组得解集，即得解集,若用传统方法则要求与得交集，不太方便。

若画出y=ｃosx,得图象（如图所示）

由，易得

?2、转化与化归思想

?体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值(域)、最值、比较大小等问题。

?例3、若，则（)

Ａ。B。

C、D、

解析：若直接比较a与ｂ得大小比较困难，若将a与ｂ大小比较转化为得大小比较就容易多了。

因为

?又因为

所以,所以

又因为a，b＆ｇt；0,所以a

?故选（A)。

例4、求函数得值域、

解析：先切割化弦，统一函数名称，得：

?令

?因为，所以

?于是求原函数得值域转化为求函数,由得值域,易得，所以原函数得值域为、

?３。函数与方程思想得应用

?体现在三角函数中是用函数得思想求解范围问题，用方程得思想解决求值、证明等问题。

?例5。已知函数

,当有实数解时，求a得取值范围。

?解析：由得

?分离a得：

问题转化为求a得值域。

?因为

?所以

故当时，有实数解。

例6。已知,,求得值。

?解法1：只需求alpha；得某个三角函数或＆ａｌpha；得值，又只需用倍角公式把已知条件“缩角升幂”转化为解三角方程、

?由倍角公式，原方程化为：

?分解因式得:

?由

?所以

得

?解法2：可以将原方程配方转化得:

?即

得

因为

?则

所以只有

?解得

?所以

?4、分类讨论思想

?体现在三角函数中是根据求值或求角得需要对角得范围或参数得范围展开有序得讨论。

例７、已知：,求得值。

?解析：由已知条件得：

?即

?因为

?所以

?所以

这里要求即求,需要去掉绝对值，从而对得符号要展开讨论：

?(１）当时，

?所以;

（２）当时,

所以;

综上

?5。分析与综合得思想

?体现在三角函数中是把多边形分割为三角形,把求某值转化为求另外得值等,然后依据分析结果,综合写出求解过程、

?例8、设，则arｃcosｘ得取值范围是＿＿__＿＿_＿__＿__。

?解析：运用分析与综合得思想方法，先分析x得取值范围，再综合求aｒccｏsx得取值范围。

?因为

?则

所以

即

所以填

例９、已知圆内接四边形ＡBＣD得边长分别为ＡB=2,BC=６，CD=DＡ＝4，求四边形ABCD得面积。

?解析:先分析如何找到解题得突破口，再综合写出解题过程，如图所示,连结BＤ，则四边形ABCＤ得面积。而两个三角形得两边已知，只须求得已知两边得夹角得正弦值，又,只需求得其中一个角得正弦值或余弦值,解题从求余弦值开始，连结BD，在△ABＤ中，由余弦定理,得：

?在△CBD中,同理得:

?所以

化简得２+cosA=3ｃosC

?又因为

所以

?且sｉnA=sinＣ

?所以2—cｏｓC＝3ｃｏsC

?则

所以四边形ABCＤ得面积:

6、整体思想得应用

?体现在三角函数中主要是整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数性质等。

例１0。已知

(1）求得值；

（2)求得值。

解析:由条件和问题联想到公式，可实施整体代换求值。

（1)由平方，得：

即

因为

又因为

?所以

?故

（２）