新人教A版必修一 基本不等式 学案.pdfVIP

2019-2020学年新人教A版必修一基本不等式学案

1.基本不等式:错误!W错误！

(1)基本不等式成立的条件：40,b0.

(2)等号成立的条件:当且仅当ab时取等号.

2.几个重要的不等式

22

(1)a-\-b^2ah(a,/?GR).

(2)错误！十错误！》2(。，b同号).

(3)abW错误!2(4,/€R).

hr

(4)—5一2错误!2(a,6eR).

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

3.算术平均数与几何平均数

设a0,b0,则mb的算术平均数为错误！，几何平均数为错误！，基本不等式可叙述为两

个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

4.利用基本不等式求最值问题

己知尤0,y0,贝I」

(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当xy时,x+y有最小值2W。(简记：积定和最小)

(2)如果和x+v是定值仄那么当且仅当xy时,孙有最大值错误！。(简记:和定积最大)

佚口识拓展】

不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

(1)恒成立问题:若f(X)在区间D上存在最小值，则不等式_/(X)A在区间D上恒成立VU)min〉

A(xeD)；

若式X)在区间。上存在最大值，则不等式y(x)(B在区间D上恒成立Of(x)maxB(xGD).

(2)能成立问题：若/(X)在区间。上存在最大值，则在区间。上存在实数x使不等式

成立0f(X)maxA(XWC)；

若犬X)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数X使不等式/(x)B成立㈡ZU)min8〈

(xWD).

(3)恰成立问题:不等式/(x)〉A恰在区间D上成立/(X)〉4的解集为D；

不等式兀08恰在区间。上成立/(x)3〈的解集为D.

F基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“或X)

(1)函数yx+错误!的最小值是2。(X)

(2)函数段)cosx+错误!,xC错误!的最小值等于4.(X)

(3)“Q0且)0是“错误！+错误！22的充要条件.(X)

(4)若a〉0,则/+错误!的最小值为2错误!.(X)

22

(5)不等式a+b^2ab与等》错误!有相同的成立条件.(X)

(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(J)

题组二教材改编

2.设x0,y〉0,且x+y18,则孙的最大值为()

A.80B.77C.81D.82

答案C

解析Vx)0,)0,，错误！N错误!，

即母W错误!281,

当且仅当xy9时，(xy)max81。

3.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是n^。

答案25

解析设矩形的一边为xm,

则另一边为错误！X(20—2r)(10-x)m,

(10-x)W错误!225,

当且仅当X10—X,即X5时，)，max25.

题组三易错自纠

4.“X〉0”是“x+错误！22成立”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案C

解析当x0时,x+错误！2错误！2。

因为x,错误！同号,所以若x+错误！22,则x0,错误!0,所以“x0”是“x+错误！22

成立”的充要条件，故选C。

5.设公0,则函数产x+错误！一错误!的最小值为()

A.0B.错误！

C.1D.错误！

答案A

解析yx+错误！一错误！错误！+错误!一2

22错误