2023-2024学年安徽省合肥卓越中学高二（上）期中数学试卷【答案版】.docxVIP

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2023-2024学年安徽省合肥卓越中学高二（上）期中数学试卷

一、单选题（本题共计8小题，总分40分）

1．经过A(0，3)，B（3

A．5π6 B．π6 C．2π3

2．以点A（1，﹣2）为圆心，且与直线x+y＝0相切的圆的方程为（）

A．(x-1)2+(y+2

C．(x+1)2+(y-2)

3．已知a→=(2x，1，3)，b→

A．1 B．12 C．13 D

4．经过两条直线l1：x+y＝2，l2：2x﹣y＝1的交点，且直线的一个方向向量v→=（﹣3，

A．2x+3y﹣5＝0 B．2x+y+2＝0 C．x+2y﹣2＝0 D．x﹣y﹣7＝0

5．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为（）

A．32a B．33a C．55a D

6．已知（x1+2）2+y12=5，x2+2y2＝4，（x1﹣x2）2+（y1﹣y

A．55 B．15 C．655

7．在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2，AA1＝4，当鳖臑A1﹣ABC的体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值为（）

A．346 B．31010 C．26

8．已知椭圆x29+y26=1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P

A．25 B．302 C．35

二、多选题（本题共计4小题，总分20分）

9．已知平面α的一个法向量为n→

A．若直线l的一个方向向量为u→=(-2，-4，

B．若直线l的一个方向向量为u→=(-2，-4，

C．若平面β的一个法向量为m→=(1，0，

D．若平面β的一个法向量为m→=(1，0

10．已知方程x2+y2﹣4x+8y+2a＝0，则下列说法正确的是（）

A．当a＝10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆

B．当a＜10时，表示圆心为（2，﹣4）的圆

C．当a＝0时，表示的圆的半径为25

D．当a＝8时，表示的圆与y轴相切

11．已知m→=(1，a+b，a-b)（a，b∈R）是直线

A．若l∥α，则5a﹣b+1＝0 B．若l∥α，则a+b﹣1＝0

C．若l⊥α，则a+b﹣2＝0 D．若l⊥α，则a﹣b﹣3＝0

12．如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的角为θ＝45°的平面所截，截面是一个椭圆，则（）

A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的离心率为24

C．椭圆的方程可以为x24+y22

三、填空题（本题共计4小题，总分20分）

13．两直线3x+y﹣3＝0与6x+my+4＝0平行，则它们之间的距离为．

14．圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2y﹣6＝0的公共弦长为．

15．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，AA1＝2，则线段AC1的长为．

16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值λ（λ＞0且λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），满足|MA|＝2|MO|的动点M的轨迹为C，若在直线l：ax﹣y+3a＝0上存在点P，在C上存在两点A、B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围是．

四、解答题（本题共计6小题，总分70分）

17．（10分）在平行四边形ABCD中，A（﹣1，2），B（1，3），C（3，﹣1），点E是线段BC的中点．

（1）求直线CD的方程；

（2）求过点A且与直线DE垂直的直线．

18．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．

（1）证明：直线BD1∥平面ACE；

（2）求异面直线CD1与AE所成角的余弦值．

19．（12分）已知圆C的圆心坐标为（1，1），直线l：x+y＝1被圆C截得的弦长为2．

（1）求圆C的方程；

（2）求经过点P（2，3）且与圆C相切的直线方程．

20．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面为矩形，平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且CC1＝CD＝DD1=12

（1）证明：AD⊥平面CC1D1D；

（2）若∠A1CD1=π3，求平面A1AC与平面

21．（12分）如图，相距14km的两个居民小区M和N位于河岸l（直线）的同侧，M和N距离河岸分别为10km和8km．现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，从P排直线水管PM，PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ段长为tkm（0＜t＜8）．