湖南省长沙市师大附中2025届高三上学期第二次月考数学试卷 含解析.docx

湖南师大附中2025届高三月考试卷（二）

数学

命题人?审题人：高三数学备课组

时量：120分钟满分：150分

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数的虚部是（）

A.1 B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.

【详解】因为，

所以其虚部为，故C正确.

故选：C.

2.已知是单位向量，向量满足，则的最大值为（）

A.2 B.4 C.3 D.1

【答案】B

【解析】

【分析】设，由，可得点在以为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得的最大值.

【详解】

设，因为，

即，即，

所以点在以为圆心，3为半径的圆上，

又是单位向量，则，

故最大值为，即的最大值为4.

故选：B.

3.已知角的终边在直线上，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由角的终边，得，由同角三角函数的关系得，代入求值即可.

【详解】因为角的终边在直线上，所以.

所以.

故选：D.

4.已知函数对任意的，且，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.

【详解】在R上单调递增，

又，

当时，单调递增，

当时，单调递增，

只需，解得.

故选：D.

5.如图，圆柱的母线长为分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且，三棱锥的体积为，则圆柱的表面积为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】取的中点，由，可求解底面半径，即可求解.

【详解】设底面圆半径为，由，易得，

取的中点，连接，

则，又平面，

所以平面，所以，，

解得r=1，所以圆柱表面积为.

故选:A.

6.已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】（方法一）首先求出抛物线的方程为，设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，，从而求出的最小值即可.

（方法二）首先求出，再利用基本不等式即可求解即可.

【详解】（方法一）

因为抛物线的焦点到准线的距离为，故，

所以抛物线的方程为，焦点坐标为F1,0，

设直线的方程为：，不妨设，

联立方程，整理得，则，

故，

又AF=x1

则，

当且仅当时等号成立，故的最小值为.

故选：B.

（方法二）由方法一可得，则，

因此

，

当且仅当时等号成立，

故的最小值为.

故选：B.

7.设函数，其中.若，都有.则的图象与直线的交点个数为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C

【解析】

【分析】利用给定条件求出，再作出图像求解交点个数即可.

【详解】对，都有，

所以是y=fx的一条对称轴，

所以，又，

所以.所以，

在平面直角坐标系中画出与的图象，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

当时，，

所以如图所示，可知y=fx的图象与直线的交点个数为3，故C正确.

故选：C.

8.已知定义域为的函数满足：，且，则下列说法正确的是（）

A.

B.是偶函数

C.若，则

D.若，则

【答案】C

【解析】

【分析】对A，利用赋值法令即可求解；对B，根据题中条件求出，再利用偶函数定义即可求解；对C，先根据题意求出，再找出与的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D，找出与的关系，再根据常数列的定义即可求解.

【详解】对A，，

令，即，解得，故A错；

对B，根据，得，

即，故为奇函数，故B错；

对C，

令，即，

，

，又，

，

，

由题知：

，

令，即，

，

，

即是以为首项为公比的等比数列；

故，故C正确；

对D，由题意知：

，

令，得，

又，即，

即数列为常数列，

由上知，故，故D错.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C，D选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法中正确的是（）

A.一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60

B.若样本数据的标准差为8，则数据，的标准差为16

C.数据的第70百分位数是23

D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，由题意可得样本容量为20，